Процесс гибели и размножения

В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов — так называемый процесс гибели и размножения.

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рисунке 3.

Рисунок 3 — Граф состояний процесса гибели и размножения Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы S0, S1, S2, …, Sk. Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т. е. из состояния Sk, возможны переходы только либо в состояние Sk-1, либо в состояние Sk+1.

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями или .

По графу, представленному на рисунке 3, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний.

В соответствии с правилом составления таких уравнений получим: для состояния S0.

(16).

для состояния, которое с учетом (16) приводится к виду.

(17).

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:

(18).

к которой добавляется нормировочное условие.

(19).

Решая систему (18),(19), можно получить.

(20).

(21).

Легко заметить, что в формулах (21) для p1, p2,…, pn коэффициенты при p0 есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле (20). Числители этих коэффициентов представляют произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо до данного состояния Sk (k=1, 2, …, n), а знаменатели — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево до состояния Sk.