Аналитическая геометрия на плоскости

Пусть уравнение одной из сторон квадрата х+3у-5=0. Необходимо составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если точка с координатами (-1,0) является точкой пересечения его диагоналей.

Будем строить решение задачи с помощью векторов Maple, определяемых командой vector (). Этими объектами можно представлять не только векторы на плоскости и в пространстве, но и точки этих пространств.

Прежде всего, определим одну известную сторону квадрата (linel) и точку пересечения его диагоналей (center_point), являющуюся центром квадрата.

> with (linalg):

> linel:=x+3*y-5=0;

> center_point:=vector (2,[-1,0]);

Расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до любой его стороны равно половине длины стороны квадрата. Один из способов его определения заключается в определении точки пересечения стороны квадрата с перпендикуляром, опущенном из точки пересечения диагоналей. Для задания.

прямой линии на плоскости необходимо знать направление перпендикулярного к ней вектора (а) и некоторую точку (Р0), через которого она проходит. Тогда уравнение прямой может быть записано в виде:

(Р-Р0, a)=0,.

где Р радиус-вектор текущей точки прямой, а через (., .) обозначено скалярное произведение двух векторов.

Вектор, перпендикулярный прямой, проходящей через центр квадрата и перпендикулярный заданной его стороне, определяется через уравнение этой стороны.

Вектор [1,3] перпендикулярен стороне квадрата, а значит вектор [3,-1] перпендикулярен нашей искомой прямой:

> перпендикулярный_вектор1:=vector (2,[1,3]);

перпендикулярный_вектор1:=[1,3].

> перпендикулярный_вектор:=vector (2,[3,-1]); перпендикулярный_вектор:=[3,-1].

> with (linalg):

> dotprod (перпендикулярный_вектор1,перпендикулярный_вектор);

Для проверки перпендикулярности двух векторов мы использовали то, что скалярное произведение при перпендикулярности должно равняться нулю.

Команда dotprod () пакета linalg вычисляет скалярное произведение двух векторов.

Зададим радиус — вектор текущей точки прямой как вектор с координатами [x, y].

> point_line:=vector (2,[x, y]);

Тогда уравнение прямой, перпендикулярной к стороне квадрата, определяется следующим образом:

> line:=dotprod ((point_line-centre_point), перпендикулярный_вектор)=0;

Точку пересечения cross_point перпендикуляра line со стороной квадрата linel1 получим из совместного решения уравнений этих прямых.

> s:=solve ({line, line1},{x, y});

> cross_point:=vector (2,[eval (x, s), eval (y, s)]);

Для дальнейших построений нам необходимо вычислить расстояние между двумя точками плоскости.

Для выполнения этого действия пришлось написать следующую часть.

> with (linalg):v11:=vector (2,[eval (x, s), eval (y, s)]);

> v22:=vector (2,[-1,0]);

> s:=0;v33:=vectdim (v11);for i from 1 to v33 do s:=s+(v11[i]-v22[i])^2;end do;

d:=simplify (sqrt (s));

Эта величина равна половине длины стороны квадрата, а так как точка cross point как раз и делит сторону квадрата пополам. Теперь мы легко можем определить две вершины квадрата v1 и v2 как точки прямой заданной стороны квадрата и расположенные по обе стороны от точки cross point на расстоянии d.

> zero:=vector (2,[0,0]);перпендикулярный_вектор:=vector (2,[3,-1]);перпендикулярный_вектор1:=vector (2,[1,3]);

перпендикулярный_вектор:=[3,-1].

перпендикулярный_вектор1:=[1,-3].

> v11:=vector (2,[0,0]);v22:=vector (2,[3,-1]);s:=0;v33:=vectdim (v11);for i from 1 to v33 do s:=s+(v11[i]-v22[i])^2;end do;

d1:=simplify (sqrt (s));

>v1:=vector (2,[cross_point[1]+перпендикулярный_вектор[1]/d1*d,.

cross_point[2]+перпендикулярный_вектор[2]/d1*d]);

> v2:=vector (2,[cross_point[1]-перпендикулярный_вектор[1]/d1*d,.

cross_point[2]-перпендикулярный_вектор[2]/d1*d]);

При вычислении вершин квадрата нам пришлось использовать единичный направляющий вектор прямой linel1, построенный из вектора перпендикулярный_вектор (он параллелен стороне квадрата) делением его координат на модуль этого вектора, который вычисляется как расстояние от точки, представленной координатами вектора, до начала координат (zero).

Теперь, зная координаты двух вершин квадрата, можно построить уравнения еще двух сторон (line2 и line4), а также вычислить координаты остальных двух вершин (v4 и v3), смещаясь вдоль построенных прямых сторон квадрата от соответствующих вершин (v1 и v2) на расстоянии 2d, равное длине стороны квадрата:

> line2:=dotprod ((point_line-v1), перпендикулярный_вектор)=0;

> line4:=dotprod ((point_line-v2), перпендикулярный_вектор)=0;

>v11:=vector (2,[0,0]);v22:=vector (2,[1,3]);s:=0;v33:=vectdim (v11);for i from 1 to v33 do s:=s+(v11[i]-v22[i])^2;end do;

d1:=simplify (sqrt (s));

> v4:=vector (2,[v1[1]-перпендикулярный_вектор1[1]/d1*2*d, v1[2]-перпендикулярный_вектор1[2]/d1*d*2]);

> v3:=vector (2,[v2[1]-перпендикулярный_вектор1[1]/d1*2*d, v2[2]-перпендикулярный_вектор1[2]/d1*d*2]);

Получить уравнение последней стороны квадрата достаточно просто. Для этого достаточно построить уравнение прямой, проходящей через точку v4 и параллельной заданной стороне квадрата.

> line3:=dotprod ((point_line-v4), перпендикулярный_вектор1)=0;

Для проверки построенных уравнений сторон квадрата можно начертить прямые линии сторон и точку центра квадрата, чтобы убедиться в правильности построенного решения.

> with (plots):

>f:=plot ({rhs (isolate (linel, y)), rhs (isolate (line2,y)), rhs (isolate (line3,y)), rhs (isolate (line4,y))}, x=-4.4,y=-4.4,color=black, scaling=CONSTRAINED, thickness=2):g:=plot ([[center_point[1], center_point[2]]], x=;

4.4,style=POINT, color=black):t:=textplot ([1,2," line1″ ], color=red, align={LEFT}):display ({f, g, t}, axes=BOXED);

Рис. 1.

Если немного уменьшить масштаб, то можно более наглядно рассмотреть получившуюся фигуру.

>f:=plot ({rhs (isolate (linel, y)), rhs (isolate (line2,y)), rhs (isolate (line3,y)), rhs (isolate (line4,y))}, x=-10.10,y=-10.10,color=black, scaling=CONSTRAINED, thickness=2):g:=plot ([[center_point[1], center_point[2]]], x=-4.4,style=POINT, color=black):t:=textplot ([1,2," line1″ ], color=red, align={LEFT}):display ({f, g, t}, axes=BOXED).

Рис. 2.