Область сходимости степенного ряда

Теорема 13.10 (теорема Абеля). Если степенной ряд (13.24) сходится при х- х₀ (х₀ Ф 0), то он абсолютно сходится для всех х, таких, что |х| < |х₀|; если ряд (13.24) расходится при х = х, то он расходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству |х| > |х,|.

Доказательство. Пусть степенной ряд (13.24) сходится при х = х₀. Тогда в силу свойства 4 общий член числового ряда а_ях" —> 0 при п —><�"; отсюда следует, что последовательность {а_ах?} ограничена, т. е. существует число М > 0, такое, что.

Перепишем ряд (13.24) с помощью тождественного преобразования в виде.

Составим теперь ряд из абсолютных величин членов ряда (13.26):

Все члены этого ряда в силу неравенства (13.25) меньше соответствующих членов ряда

который является суммой геометрической прогрессии со знаменателем |х/х₀| < 1 и потому сходится. Тогда в силу признака сравнения сходится и ряд (13.27), т. е. ряд (13.24) сходится абсолютно.

Пусть теперь ряд (13.24) расходится при л* = jc,. Предположим обратное утверждению теоремы, т.с. что при некотором х > л*, данный ряд сходится. Тогда по уже доказанной части теоремы этот ряд должен сходиться в точке jc = jc, что противоречит условию теоремы. ?

Теорема Абеля примечательна утверждением, что если степенной ряд (13.24) сходится при х = х₀, то он сходится абсолютно всюду на отрезке |-|д*₀|, |л₀||. Если же х, — точка расходимости ряда, то он расходится везде вне интервала.

(-U, 1.1*, 1);

Отсюда следует основополагающая теорема.

Теорема 13.11. Если степенной ряд сходится нс только при х = 0, то существует положительное число R (возможно н бесконечное), такое, что ряд абсолютно сходится в интервале (-/?, R) и расходится везде вне этого интервала. Доказательство. Пусть X — множество точек х, в которых ряд (13.24) сходится. Оно по условию теоремы нс пустое; покажем, что оно ограничено. Действительно, пусть х, — точка, где ряд расходится; тогда по теореме Абеля для любого х е X выполняется условие |х| < |х,|. Стало быть, у этого множества существует точная верхняя грань R = sup |х|, причем R > 0, поскольку ряд сходится нс только Л **^х

при х = 0.

Если нс существует такой точки х, в которой степенной ряд расходится, то R = о©, и тогда множество X неограничено. Пусть х — любое число, удовлетворяющее условию |х| < R, или -R < х < R тогда по теореме Абеля при этих значениях х имеет место абсолютная сходимость ряда (13.24).

Возьмем теперь любое х, для которого х > /?, если /?<<�". Такие значения х находятся вне промежутка сходимости X и в этих точках ряд расходится. Теорема полностью доказана. ?

Число R и интервал (-R, R) называются соответственно радиусом сходимости и интервалом сходимости степенного ряда. Всякий стеленной ряд имеет свой радиус сходимости R > 0. При х — ± R вопрос о сходимости должен рассматриваться конкретно для каждого ряда.

Способ определения радиуса сходимости степенного ряда содержится в следующей теореме.

Теорема 13.12. Если для степенного ряда (13.24) существует предел.

то радиус сходимости этого ряда определяется формулой R = 1 /L.

Доказательство. Возьмем ряд ^|я_ях" | и применим к нему признак Даламбера я-0.

(теорема 13.4 для рядов с неотрицательными членами). Этот ряд сходится, если.

Отсюда в силу теоремы 13.11 следует, что степенной ряд (13.24) сходится абсолютно при х < 1/1, и, значит, /? = 1/L=lim —, что и требовалось дока;

" «*•* а ,

I.

зать. ?

Заметим, что если предел L в (13.29) равен нулю, то степенной ряд сходится на всей числовой прямой, т. е. /? = .

Рассмотрим примеры определения радиуса сходимости степенных рядов.

Пример 11. У —.

Согласно теореме 13.12 радиус сходимости этого ряда определяется по формуле.

R = Пт ^ —- = Пт (п +1) = °°,.

//J !?-««.

т.е. данный ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

Пример 12. а>0.

«•и ^п

Радиус сходимости данного ряда R = 1. Выясним вопрос о сходимости ряда в точке |х| = R = 1. При подстановке в степенной ряд значения |jc | = 1 получаем.

— j.

числовой ряд У—, который имеет различный характер сходимости в зависи;

. п^и *••1 "

мости от, а (см. п. 13.2.3, пример 5):

1. при, а < 1 данный ряд сходится условно на отрезке [-1, 01 (как знакопеременный ряд), а на интервале (—1, 1) он сходится абсолютно (поскольку.

|х" | > |х" 1/п^п и ряд ?х^и сходится как сумма геометрической прогрессии Я"1.

со знаменателем |х| < 1);

2. при, а > 1 данный ряд сходится абсолютно на отрезке [-1, 1].

Пример 13. а>0.

я «О Q

а" ¹

R= Пт-= а. При х = ± а получаем, что необходимое условие сходимости.

а

числового ряда не соблюдается (см. п. 13.1.2, условие 4). Следовательно, данный ряд сходится абсолютно на интервале (-а. а) как сумма геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы.

Пример 14. ?/*V.

Следовательно, данный ряд сходится лишь в точке х = 0.