Эллипс. 
Математика

Изобразим окружность, заданную, например, уравнением х² + у² = 16 (рис. 3.18).

Рис. 3.18.

Деформируем окружность, подвергнув ее равномерному сжатию вдоль оси Оу в два раза. В результате сжатия окружности получается новая линия, которая называется эллипсом (рис. 3.19).

При указанном сжатии каждая точка М (х; у) окружности переместится по вертикали в точку эллипса М (х; у) так, что при одинаковых абсциссах х ординаты точек М и М связаны соотношением:

Рис. 3.19.

Подставив это выражение в уравнение окружности, получаем соотношение, связывающее координаты точек эллипса:

или после деления обеих частей на 16 имеем:

Отбрасывая тильду (волну «~»), т. е. обозначая в дальнейшем координаты произвольной точки эллипса х и у, получаем каноническое уравнение эллипса:

Разумеется, любую окружность радиуса а (с уравнением х² + у² = а²) можно подвергнуть аналогичному сжатию (и не обязательно в два раза). При этом получается эллипс (изображенный на рис. 3.20), каноническое уравнение которого имеет вид:

Перечислим свойства эллипса.

• 1. Эллипс располагается в прямоугольнике, ограниченном прямыми: х = а_} х = -а, у = Ь, у = -Ь.
• 2. Оси координат являются осями симметрии эллипса.
• 3. Начало координат — центр симметрии эллипса. Эллипс — центральная кривая второго порядка.

Рис. 3.20

• 4. Отрезок, соединяющий две точки эллипса, симметричные относительно центра, называется диаметром эллипса. Все диаметры эллипса проходят через его центр, в котором каждый из них делится пополам. В рассматриваемом случае при а > Ь, горизонтальный диаметр М_{М₂ — наибольший, а вертикальный М_лМ_/{ — наименьший. Концы этих двух диаметров называются вершинами эллипса; координаты вершин: М_х(-а 0), М₂(а; 0), М₃(0; -b), М₄(0; b).
• 5. Расстояние от вершины до центра называется полуосью. Эллипс имеет две полуоси: большую, равную а, и малую, равную Ь.
• 6. На рис. 3.20 на горизонтальном диаметре эллипса

отмечены две точки F_x(-c; 0) и F₂(c; 0) (где с = 1а-Ь), которые называются фокусами эллипса; с фокусами связано замечательное (определяющее) свойство эллипса: сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов равна 2а.

7. Окружность является частным случаем эллипса (при b = а). То есть окружность — это эллипс, у которого большая и малая полуоси равны между собой. В этом случае фокусы совпадают с центром.

Замечание. Эллипсы имеют важные приложения в физике и астрономии.

Физическое свойство фокусов: если в один из фокусов помещен точечный источник света, то отразившись от эллиптического зеркала, все лучи соберутся во втором фокусе.

В астрономии мы встречаемся с эллипсом в первом законе Кеплера: «Каждая планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце».