Формула Байеса. 
Теория вероятностей и математическая статистика

Пусть событие, А наступит лишь при условии появления одного из событий (гипотез) Я, Я2, Я3,…, Я", которые образуют полную группу несовместных событий и известны их безусловные вероятности />(Я). Если событие, А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по где формуле Байеса.

Пример 3.27. Выбранная для диагностики группа заболеваний включает три болезни: Я, — грипп, Я₂ — пневмония, Я₃ — острое респираторное заболевание (ОРЗ). По данным многолетней статистики вероятности этих диагнозов составляют: /^>(Я,) = 0,3; Р (Я₂) = 0,2; Р (Н₃) = 0,5. Вероятность обнаружения шумов в легких (событие А) при гриппе Р (А/Я,) = 0,3, пневмонии — Р{А1 Н₁) = 0,1_> ОРЗ — Р (Л/ Я₃) = 0,2. Найти вероятности этих заболеваний, если у больного обнаружены шумы в легких.

Решение. Вероятность того, что у больного выявлены шумы в легких, по формуле полной вероятности

Вероятности диагноза заболеваний по формуле Байеса:

Таким образом, условная вероятность диагноза «пневмония» (0,424) возросла более чем вдвое по сравнению с безусловной вероятностью (0,2). Подчеркнем, что сумма всех условных вероятностей также равна единице (0,273 + 0,424 + 0,303 = 1).

Пример 3.28. В специализированную больницу поступает в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием L, 20% - с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней L и М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

Решение. До выписки больного из больницы возможны гипотезы: Я, — больной страдал заболеванием К; Н₂ — больной страдал заболеванием L; Н_ъ — больной страдал заболеванием М. Вероятности этих гипотез соответственно равны:

Обозначим через А событие, заключающееся в том, что поступивший в больницу больной выписан здоровым. Условные вероятности события А при гипотезах Я, Я₂, Я₃ :

Вероятность того, что наугад взятый больной окажется здоровым, по формуле полной вероятности.

Условная вероятность того, что выписанный больной страдал заболеванием К, по формуле Байеса.

Читателю предлагается самостоятельно найти вероятности того, что больной страдал заболеванием L и М.

Пример 3.29. Известно, что 8% всех мужчин и 0,4% всех женщин дальтоники. Наугад выбранный человек оказался дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек: а) мужчина; б) женщина.

Решение. Обозначим через А событие, заключающееся в том, что наугад выбранный человек оказался дальтоником. В качестве гипотез примем события Н — выбранный человек мужчина, Яг — женщина. По условию задачи условные вероятности этих гипотез:

Так как мужчин и женщин одинаковое количество, то вероятности того, что будет отобран мужчина или женщина.

Вероятность того, что наугад взятый человек окажется дальтоником, по формуле полной вероятности

Условная вероятность того, что наугад взятый человек мужчина по формуле Байеса.

Условная вероятность того, что наугад взятый человек окажется женщиной.