Косвенный метод наименьших квадратов по сути сводится к оцениванию по отдельности уравнений приведенной формы.
Y1 = a1 + b1X1 + н1, (5.1).
Y2 = a2 + b2X2 + н2. (5.2).
Можно повысить эффективность оценивания, если объединить данные уравнения и применить к нему обобщенный метод наименьших квадратов.
Пусть Х1 0 Y1 в1 н1.
Х = [ ]; Y = …; в = …; н = … .
0 Х2 Y2 в2 н2
Тогда уравнения (5.1) и (5.2) можно записать в виде:
Y = Xв + н. (5.3).
Пусть У11 = Cov (н1, н1), У12 = Cov (н1, н2), У22 = Cov (н2, н2).
Если уравнения (5.1) и (5.2) по отдельности удовлетворяют условиям классической модели, матрицы Уij — скалярные.
Тогда У11 У12
У = [ ——————- ].
У12 У22
— есть ковариационная матрица ошибок регрессии уравнения (5.3). Соответственно, оценка обобщенного метода наименьших квадратов уравнения (5.3) имеет вид b* = (X` У -1 X)-1 X` УY.
Для практического применения обобщенного метода наименьших квадратов следует оценить матрицу У. Это можно сделать, применив метод наименьших квадратов сначала к уравнениям (5.1) и (5.2) по отдельности, найти остатки регрессии и принять в качестве оценок матриц Уij выборочные ковариации Cфv (ei, ej). Очевидно, эти оценки будут состоятельными.
Применяя метод одновременного оценивания, можно повысить эффективность косвенного метода наименьших квадратов. Если наборы экзогенных переменных в обоих уравнениях совпадают, то оценка одновременного оценивания совпадает с оценкой метода наименьших квадратов, примененного к уравнениям по отдельности.