Устойчивость решений дифференциальных уравнений

Лекция 26 Понятие устойчивости в дифференциальных уравнениях

Мы начинаем с вами новый раздел теории дифференциальных уравнений теорию устойчивости. Настоящая глава, пожалуй, одна из самых сложных в смысле понимания. Понятие устойчивости, как и большинство математических понятий, есть не более, чем абстракция, извлечение какого-то свойства, какой-то стороны знакомого нам явления, привычного в обыденной жизни и имеющего вполне естественный смысл. Абстракция образуется отвлечением, пренебрежением, игнорированием тех сторон, которые в данном контексте несущественны, но тем не менее она кровно связана с исходными, обыденными представлениями. И не почувствовав эту связь, не пережив ее, мы не сможем понять суть абстрактного понятия, его смысл и необходимость.

Обыденное и математическое представление об устойчивости

Слово «устойчивость» мы с вами употребляем часто в обыденной жизни, вкладывая в него вполне естественный смысл. Например, если едем в автобусе, двумя руками держимся за поручни, двумя ногами упираемся в пол, да еще и к стенке прислонились, то из такого положения нас «выбить» довольно сложно. Мы говорим, что наше положение устойчиво. А если мы стоим на одной ноге, в одной руке портфель, в другой авоська, да еще сбоку сосед локтем толкает то наше положение неустойчиво: не дай бог какая случайность и окажемся мы на полу вместе с портфелем, авоськой и соседом.

Попробуем «проложить мостик¹¹ от этих обыденных представлений об устойчивости к математическому, которое используется в теории дифференциальных уравнений.

Прежде всего, конечно, следует отметить, что, по большому счету, все наши телодвижения в автобусе, как и движение самого автобуса, описываются законами механики. Которые, в большей своей части, выражаются математически различными дифференциальными уравнениями. «Идеальному¹⁴, «хорошему» состоянию соответствует одно решение, а разные отклонения от него переводят нас на другие решения, называемые возмущенными^[1][2].

Таким образом, получается, что математизация обыденного понятия возмущения приводит нас к вопросу о том, насколько отличаются друг от друга два решения (невозмущенное и возмущенное) дифференциального уравнения. Например, для простоты.

Однако здесь надо понять еще одну вещь: что порождает возмущения. Ведь автобус может резко затормозить из-за старушки, переходящей дорогу, может дернуться на какой-нибудь дырке в асфальте, тщательно расчищенной перед прошлогодним несостоявтпимся ремонтом, может спустить колесо, да и сосед может чихнуть не вовремя. Как это все собрать воедино?

• [1] 'Вот уже первая абстракция мы сосредоточиваемся только на «механической11стороне нашей автобусной жизни, отвлекаясь от того, кто кому и что при этом сказал. Хотя представить себе автобус с пассажирами, молча едущими в соответствиис законами механики, довольно сложно и воображение такой картины вызовет у насулыбку, тем не менее факт остается фактом: содержание речей, произносимых в автобусе, практически не влияет на тот аспект, на котором мы сосредоточились, наустойчивость.
• [2] Здесь «возмущение44 понимается не в смысле «негодования» и не в смысле «народного волнения, восстания41. Этот термин взят из небесной механики, где под возмущением понимается отклонение орбиты небесного тела под действием иных тел.