Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Плотность функции Лагранжа электромагнитного поля

Анализируя опубликованные критические работы, мы пришли к заключению, что корни трудностей существующих теорий (СТО, квантовая электродинамика и т. д.) лежат именно в классической электродинамике. Что бы вы ни взяли: квантовую теорию поля, теорию относительности (любую), релятивистскую механику и т. д. — везде вы натолкнетесь на нерешенные проблемы электродинамики.

Трудности квантовых теорий обусловлены электродинамикой. Теория относительности также опирается на электродинамику («порождена» ею). Релятивистская механика основывается на теории относительности, т. е. также «привязана» к электродинамике и т. д. И, тем не менее, работ посвященных анализу основ электродинамики очень мало.

Это имеет свое объяснение. Кажется, что электродинамика «досконально» подтверждена с экспериментальной точки зрения. На ее основе строятся ускорители элементарных частиц, генераторы СВЧ сигналов, антенные системы и т. д. и нет оснований для сомнений в правильности ее теоретических основ.

Но это только на первый взгляд. На самом деле, тщательно анализируя теоретические основы электродинамики, мы постоянно сталкивались с противоречивым, не всегда последовательным изложением основ электродинамики, со стремлением вопреки логике «подогнать» доказательства под заранее заданный результат.

В качестве источника анализа основ электродинамики мы выбрали книгу Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица «Теория поля» [1]. Это обусловлено тем, что книга [1] рекомендована в качестве учебного пособия для университетов.

На первый взгляд кажется, что теоретические основы теории электромагнитного поля изложены изящно и логично. Но это только на первый взгляд, так как изложение имеет недостатки, достойные пересмотра. Например (см. параграфы 23 — 33):

исходный тензор энергии-импульса электромагнитного поля несимметричен, поэтому к нему добавляется еще «нулевой» тензор A_iF_kl /(4x_l);

энергия поля скалярного потенциала исходного несимметричного тензора отрицательна, но благодаря «нулевому» тензору отрицательная энергия как бы «исчезает»;

эта отрицательная энергия поля скалярного потенциала («как шило из мешка») вновь «вылезает», но уже в квантовой теории поля;

одновременно в квантовой теории поля появляются продольные волны, что вызывает необходимость использовать кулоновскую калибровку вместо калибровки Лоренца;

из тензора энергии-импульса электромагнитного поля не вытекают законы сохранения и, в силу этого, закон Пойнтинга выводится «дедовским» методом и т. д.

Необходимость анализа созрела уже давно. Остается только удивляться, почему сих пор не было проведено ревизии основ классической электродинамики.

В учебнике [1] построение теоретических основ электродинамики идет от функции Лагранжа для заряда. Затем получают тензор электромагнитного поля F_kl. От него идут к тензору энергии-импульса электромагнитного поля, к уравнениям Максвелла и теореме Пойнтинга.

Мы будем проводить анализ в обратной последовательности и начнем с плотности функции Лагранжа для электромагнитного поля, продвигаясь к полям заряда. В современной теории плотность функции Лагранжа определяется через тензор электромагнитного поля.

F_ik= [A_k/x_i — A_i/x_k].

Запишем известное выражение для плотности функции Лагранжа.

= [ (F_ik)²/4 + j_iA_i ]/ = [(A_k/x_i)² — 2A_i/x_kA_k/x_i + (A_i/x_k)²]/4+ j_iA_i/ (1.1.1).

Поскольку функция Лагранжа определена неоднозначно, преобразуем выражение (1.1.1) и придадим ему иную форму, используя интеграл действия.

(1.1.2).

где: d = dx₁ dx₂ dx₃ dx₄; j_k = сu_k — 4-вектор плотности тока; u_k= dx_k/ds — 4-вектор скорости; - плотность пространственного заряда.

Добавим уравнения непрерывности A_k/x_k = 0 и j_k/x_k = 0, которые являются самостоятельными условиями, наложеннымыми на поля. Раскроем подынтегральное выражение и проинтегрируем по частям.

(1.1.3).

Во втором интеграле конечного выражения (1.1.3) пределами интегрирования является бесконечность, где при интегрировании по координатам поле исчезает. При интегрировании по времени начальные и конечные точки варьирования фиксированы и там вариация интеграла равна нулю. Следовательно, последний интеграл в выражении (1.1.3) обращается в нуль. Таким образом, получаем новое выражение для плотности функции Лагранжа.

= - (A_i/x_k)²/2 + j_iA_i(1.1.4).

Выражение (1.1.4) полностью эквивалентно выражению (1.1.1).