Статистические распределения. 
Механика, молекулярная физика и термодинамика

При тепловом движении положения частиц, величина и направление их скоростей изменяются случайным образом. Вследствие гигантского числа частиц случайный характер их движения, проявляется в существовании определенных статистических закономерностей в распределении частиц системы по координатам, значениям скоростей и т. д. Подобные распределения характеризуются соответствующими функциями распределения. Функция распределения (плотность вероятности) характеризует распределения частиц по соответствующей переменной (координаты, величины скоростей и т. д). В основе классической статистики лежат следующие положения:

• — все частицы классической системы различимы (т.е. их можно пронумеровать и следить за каждой частицей);
• — все динамические переменные, характеризующие состояние частицы, изменяются непрерывно;
• — в заданном состоянии может находиться неограниченное число частиц.

Распределение Максвелла

В состоянии теплового равновесия как бы не изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул в газе, при.

Т=cоnst,.

остается постоянной и равной.

.

Это объясняется тем, что в газе устанавливается некоторое стационарное статистическое распределение молекул по значениям скоростей, называемое распределением Максвелла. Распределение Максвелла описывается некоторой функцией f (?), называемой функцией распределения молекул по скоростям.

.

где N — общее число молекул, dN (?) — число молекул, скорости которых принадлежат интервалу скоростей от? до? + d?.

Таким образом, функция Максвелла f (?) равна вероятности того, что величина скорости наугад выбранной молекулы принадлежит единичному интервалу скоростей вблизи значения ?. Или она равна доле молекул, скорости которых принадлежат единичному интервалу скоростей вблизи значения ?.

Явный вид функции f (?) был получен теоретически Максвеллом:

.

График функции распределения приведен на рис. 12. Из графика следует, что функция распределения стремится к нулю при ??0 и ??? и проходит через максимум при некоторой скорости? В, называемой наиболее вероятной скоростью. Этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Кривая несимметрична относительно? В. Значение наиболее вероятной скорости можно найти, используя условие для максимума функции f (?).

.

На рис. 13 показано смещение? В с изменением температуры, при этом площадь под графиком остается постоянной и равной 1, что следует из условия нормировки функции Максвелла.

.

Условие нормировки следует из смысла данного интеграла — он определяет вероятность того, что скорость молекулы попадает в интервал скоростей от 0 до ?. Это достоверное событие, его вероятность, по определению, принимается равной 1.

Знание функции распределения молекул газа по скоростям позволяет вычислять средние значения любых функций скорости, в частности средней арифметической скорости .

.

Рис. 12 Рис. 13

По функции Максвелла можно определить долю молекул, скорости которых принадлежат заданному интервалу скоростей или превышают некоторое значение скорости, например вторую космическую, что определяет рассеяние атмосферы.

.