Представление информации в цифровых автоматах (ЦА)

В процессе переработки информации цифровые ЭВМ — компьютеры, оперируют числами, которые представляются в некоторой системе счисления.

Система счисления — это совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Запись числа в некоторой системе счисления часто называют кодом числа.

Элементы (символы) алфавита, которые используются для записи чисел в некоторой системе счисления, принято называть цифрами. Каждой цифре данного числа однозначно сопоставляется ее количественный (числовой) эквивалент.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Непозиционная система счисления — это система, для которой значение символа, т. е. цифры, не зависит от его положения в числе. К таким системам относится, в частности, римская система (правда с некоторыми оговорками). Здесь, например, символ V всегда означает пять, вне зависимости от места его появления в записи числа. Есть и другие современные непозиционные системы. Позиционная система счисления — это система, в которой значение каждой цифры зависит от ее числового эквивалента и от ее места (позиции) в числе, т. е. один и тот же символ (цифра) может принимать различные значения.

Наиболее известной позиционной системой счисления является десятичная система счисления. Например, в десятичном числе 555 первая цифра справа означает 5 единиц, соседняя с ней — 5 десятков, а левая — 5 сотен.

В связи с тем, что в цифровых автоматах в основном используются позиционные системы счисления, то мы в дальнейшем будем рассматривать только их.

Любая позиционная система счисления характеризуется основанием.

Основание или базис q естественной позиционной системы счисления это количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе.

Когда мы представляем, т. е. записываем некоторое число в позиционной системе счисления, мы размещаем соответствующие цифры числа по отдельным нужным позициям, которые принято называть разрядами числа в данной позиционной системе счисления. Количество разрядов в записи числа называется разрядностью числа и совпадает с его длиной.

В позиционной системе счисления справедливо равенство:

Aq = anqn + an-1qn-1 + … + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + … + a-mq-m, (2.1).

или.

где A это произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q; anq — коэффициенты ряда, т. е. цифры системы счисления; n, m — количество целых и дробных разрядов соответственно.

Для обработки информации в компьютере обычно используется двоичная система счисления. Это объясняется, в частности, тем, что для размещения чисел (операндов) в компьютерах используются регистры и ячейки памяти, состоящие из триггеров, т. е «переключателей», у которых может быть два положения: «включено» и «выключено». «Включено» обозначает 1, «выключено» — 0. Таким образом, 1 регистр представляет 1 бит. Восемь бит есть байт.

Длина числа — это количество позиций (или разрядов) в записи числа.

б) Форматы представления чисел с плавающей запятой.

Для представления чисел с плавающей точкой (далее ЧПТ) используется полулогарифмическая форма записи числа:

N = ± mq ^{± p}

где qоснование системы счисления, p — порядок числа, m — мантисса числа N.

Положение точки определяется значением порядка p. С изменением порядка точка перемещается (плавает) влево или вправо. Пример.

125₁₀=12.5*10¹=1.25*10²=0.125*10³=0.0125*10⁴=…

Для установления однозначности при записи чисел принята нормализованная форма записи числа. Мантисса нормализованного числа может изменяться в диапазоне: 1/q? | m | < 1. Таким образом в нормализованных числах цифра после точки должна быть значащей.

Пример.

Для представления чисел в машинном слове выделяют группы разрядов для изображения мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка: а) представление чисел в формате полуслова (16 бит):

б) представление чисел в формате слова (32 бита):

Наиболее типично представление ЧПТ в формате слова. Пример. Число А=-3.5₁₀=-11.1₂=-0.111· 10¹⁰

Максимальным числом представимым в формате слова будет A=(0.1111…1· 10^{1 111 111})₂(1·2¹²⁷)₁₀.

Таким образом, числа с плавающей точкой позволяют увеличить диапазон обрабатываемых чисел, но при этом точность изображения чисел определяется только разрядами мантиссы и уменьшается по сравнению с числами с фиксированной точкой.