Сложение дисперсий. 
Элементы математической статистики

Теорема. Если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:

D общ =Dвигр+Dмежгр Доказательство. Для упрощения доказательства предположим, что вся совокупность значений количественного признака X разбита на две следующие группы:

Группа первая вторая Значение признака х_г х₂x_t x_a

Частота т_г т_гп_х п_г

Объем группы.

N₁ = m_l + m_a.N_a=ji₁ + n_a

^Х1^Х2.

Групповая средняя.

Групповая дисперсия D1гр D2гр Объем своей совокупности.

п = N_t + N.

Далее для удобства записи вместо знака суммы? пишется знак ?

Следует также иметь в виду, что если под знаком суммы стоит постоянная величина, то ее целесообразно выносить за знак суммы.

Найдем общую дисперсию:

Dобщ= (?mi (xi—x)² + ?ni ((хi-x2))²/n,.

Преобразуем первое слагаемое числителя, вычтя и прибавив x1.

• ? т (xj—х1)²=N1D1гр
• ?mi (xi-x1)=0

то первое слагаемое принимает вид.

? т (xj—х1)²=N1D1гр +N1(x1-x).

Аналогично можно представить второе слагаемое числителя (*) (вычтя и прибавив х_г):

?ni ((хi-x2))²=N2D2гр+N2(x2-x)²

Dобщ=Dвнгр+Dмежгр Пример, иллюстрирующий доказанную теорему, приведен в предыдущем параграфе.

Теорема имеет не только теоретическое, но и важное практическое значение. Например, если в результате наблюдений получены несколько групп значений признака, то для вычисления общей дисперсии можно группы в единую совокупность не объединять. С другой стороны, если совокупность имеет большой объем, то целесообразно разбить ее на несколько групп. В том и другом случаях непосредственное вычисление общей дисперсии заменяется вычислением дисперсий отдельных групп, что облегчает расчеты.