Моделирование механических систем на примере математического маятника

Объектами применения UM являются системы абсолютно твердых тел (СТТ). Тела системы могут быть как несвязанными друг с другом, так и связанными посредством шарниров и силовых элементов (Рис. 2.1). В частном случае тела могут быть материальными точками. Движение СТТ исследуется по отношению к базовому телу (базе), под которым будем понимать некоторую инерциальную систему координат. Во многих случаях такая система координат может быть с достаточной точностью связана с поверхностью Земли. Базовое тело считается неподвижным и поэтому не включается в исследуемую систему, но оно активно используется при ее описании. Для базовой системы координат используется обозначение СК0. Обычно разделение конкретного объекта на отдельные тела не представляет проблем. Например, двойной физический маятник состоит из двух тел, а манипулятор робота Puma — из четырех. В некоторых случаях деформируемое тело, например упругая балка, может быть представлено как СТТ. Для этого балку расчленяют на отдельные тела, каждое из которых является абсолютно твердым. Отдельные тела связываются шарнирами с безынерционными упругими элементами.

Для математического описания движения системы с каждым телом связывается прямоугольная декартова система координат (СК), начало которой помещается в любую точке тела, а оси жестко связаны с телом. Таким образом, тело является неподвижным относительно этой СК, и координаты всех его точек постоянны. Вообще говоря, ориентация осей по отношению к телу может быть выбрана произвольным образом, но уравнения движения будут несколько более компактными, если оси являются главными осями инерции. В дальнейшем мы будем говорить об этих системах как о связанных системах координат (СК) и использовать для них обозначение СК[номер тела], например, СК1 — СК, связанная с телом номер 1. В частном случае, когда тело имеет оси симметрии, оси связанной СК удобно (но не обязательно) направить по осям симметрии. В качестве примера рассмотрим модель двойного физического маятника, состоящего из двух однородных стержней, соединенных вращательным шарниром и прикрепленных посредством шарнира к неподвижной опоре (Рис. 2.2). Оси шарниров параллельны, поэтому движение системы происходит в плоскости, однако в UM все СК — трехмерные. Базовая СК Ox0y0z0 имеет началом точку О, совмещенную с центром шарнира. Связанные с телами СК O1x1y1z1 и O2x2 y2z2 имеют начала отсчета в центрах масс (, а оси направлены по осям симметрии тел.

Моделирование — это методология научной и практической деятельности людей, основанная на построении, исследовании и использовании моделей. Моделирование решает задачи изучения и исследования объектов и систем, предсказания их функционирования и поведения.