Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее часто встречающиеся системы счисления — это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная и восьмеричная. Как же связаны между собой представления числа в различных системах счисления?

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х2= Аn· 2n-1 + Аn-1· 2n-2 + Аn-2· 2n-3 +…+А2· 21 + А1· 20.

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Пример: Число 111 010 002 перевести в десятичную систему счисления:

111 010 002= 1· 27 + 1· 26 + 1· 25 +0· 24 + 1· 23+0·22+0·21+0·20=23 210.

Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х8= Аn· 8n-1 + Аn-1· 8n-2 + Аn-2· 8n-3 +…+А2· 81 + А1· 80.

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Пример: Число 750 138 перевести в десятичную систему счисления:

750 138= 7· 84 + 5· 83+ 0· 82 +1· 81 + 3· 80=3 124 310.

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х16= Аn· 16n-1 + Аn-1· 16n-2 + Аn-2· 16n-3 +…+А2· 161 + А1· 160.

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Пример: Число FDA116 перевести в десятичную систему счисления:

FDA116= 15· 163 + 13· 162 + 10· 161 +1· 160=6 492 910.

Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число 2210 перевести в двоичную систему счисления:

2210=101 102.

Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число57 110 перевести в восьмеричную систему счисления.

57 110=10738.

Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число746 710 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

746 710=1D2B16.

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-восьмеричной таблицей:

Пример: Число 1 001 011 перевести в восьмеричную систему счисления: 001 001 0112=1138.

Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-шестнадцатеричной таблицей:

Пример: Число 1 011 100 011 перевести в шестнадцатеричную систему счисления:

0010 1110 112=2E316.

Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример: Число 5318 перевести в двоичную систему счисления:

5318=101 011 0012.

Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример: Число ЕЕ816 перевести в двоичную систему счисления:

ЕЕ816=1 110 111 010 002.

При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1: Число FEA16 перевести в восьмеричную систему счисления:

FEA16=1 111 111 010 102=111 111 101 0102=77 528.

Пример 2: Число 66 358 перевести в шестнадцатеричную систему счисления:

66 358=1101100111012=1101 1001 11 012=D9D16.

Таблица соответствия натуральных чисел