Случайные процессы в электрических цепях

Случайные процессы. Корреляционные функции

Положим, что есть несколько систем, находящихся в одинаковых условиях, и в них происходят в принципе одинаковые процессы. В силу влияния различных случайных факторов, имеющих вероятностный характер, процессы в системах могут несколько отличаться друг от друга. В результате наблюдения можно установить, какая величина при фиксированном моменте времени t является наиболее вероятной.

Плотность вероятности случайного процесса W (x, t) выражает вероятность того, что в момент времени t значение величины х находится в интервале от х до х + dx.

Функцией распределения F (x) называют вероятность наступления события, при котором значение величины х, характеризующей это событие, находится в интервале от до х.

Случайные процессы могут быть разделены на стационарные и нестационарные. Стационарными называют случайные процессы, для которых все функции распределения не зависят от изменения начала отсчета времени. Для нестационарных случайных процессов функции распределения зависят от времени.

В качестве примера на рис. П4.1, а, б изображены кривые некоторого стационарного случайного процесса. Для этих кривых вероятность возникновения колебания с некоторой амплитудой останется той же, если сдвинуть начало отсчета времени. Иная картина имеет место на рис. П4.1, в, г, изображающих кривые x (t) для некоторого нестационарного случайного процесса. На рис. П4.1, в начиная с некоторого момента времени х (0 неограниченно возрастает, а на рис. П4.1, г — стремится к нулю. Следовательно, для этих кривых сдвиг начала отсчета времени изменяет вероятностные зависимости.

Для стационарных случайных процессов среднее по множеству х равно среднему по времени (х), т. е. х = (х). Это положение называют эргодической теоремой (гипотезой). Эргодическая теорема позволяет, обрабатывая одну из временных зависимостей х (?), полученную экспериментально, судить о статистических свойствах всех зависимостей x (t) при стационарном случайном процессе в изучаемой системе.

Рис. П4.1

Для характеристики случайных процессов x (t) вводят автокорреляционную и взаимную корреляционную функции.

Автокорреляционная функция R_x(_т) является мерой взаимной связи функции x (t) и функции x (t — т), смещенной по отношению к x (t) на время т:

Свойства R_x(t):

• 1) R_x(т) — функция четная, т. е. R_x(-т) = R_x(т), в этом можно убедиться, введя в (П4.1) новую переменную = t + т;
• 2) если x (t) — функция периодическая, то для нее R_x(т) может быть представлена в виде суммы автокорреляционных функций от постоянной и синусоидально изменяющихся составляющих;
• 3) если в x (t) имеются гармонические составляющие, то R_x(т) не содержит информации о начальных фазах гармонических составляющих;
• 4) для х (0 без постоянной и гармонических составляющих R_x(т) максимальна при т = 0;
• 5) для случайных функций времени без постоянной и гармонических составляющих Я_х(т) уменьшается с увеличением т и уже при сравнительно небольших т стремится к нулю (объясняется это тем, что для чисто случайного процесса значение x (t — т) уже при относительно небольшом т не зависит от того значения, которое имела эта функция x (t) в момент времени t).

Взаимной корреляционной функцией Я^Ст) двух функций времени x (t) и y (t) называют функцию, определяемую следующим образом:

Функция Я^Ст) является мерой взаимной связи двух случайных функций времени.

На рис. П4.2, а изображены две произвольные функции времени x (t) иy (t), которые позволяют наглядно пояснить свойства функции Я^(т). ^{1 2}

Рис. П4.2

• 1. Функция Rxy (z) зависит от того, сдвинута функция y (t) на +т или нат, т. е. Я_Лу(-т) Ф R^(т). Если кривую y (t) на рис. П4.2, а сдвинуть на +т влево, т. е. взять функцию y (t + т), то произведение x (t)y (t + т) будет равно нулю для любого t, следовательно, и R^(т) = 0. Если же эту кривую сдвинуть нат вправо, т. е. взять функциюy (t — т), то на некотором интервале времени произведение ординат кривых x (t) ny (t — т) не будет равно нулю.
• 2. Сдвиг функции у (0 влево на т дает тот же результат, что и сдвиг функции x (t) нат вправо. Поэтому Я^Ст) = R_yx(-т).

3. Для случайных функций времени x (t) и у (О, не содержащих постоянной и гармонических составляющих одинаковой частоты (для некоррелированных функций), (т) = 0.