Некоторые теоремы о подгруппах конечных групп

Теорема Коши.

Если порядок конечной группы делится на простое число p, то в ней имеется элемент порядка p.

Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, отметим, что если ge и, где p — простое число, то порядок g равен p. В самом деле, если m — порядок g, то p делится на m, откуда m=1 или m=p. Первое из этих равенств невозможно по условиям выбора g.

Индукция, с помощью которой проводится доказательство теоремы, основана на следующей лемме Лемма.

Если некоторая факторгруппа G/H конечной группы G имеет элемент порядка p, то тем же свойством обладает и сама группа G.

Доказательство леммы.

Пусть — элемент порядка p. Обозначим через m порядок элемента. Тогда и значит m делится на p. Но тогда — элемент порядка p.

Доказательство теоремы Коши.

Зафиксируем простое число p и будем проводить индукцию по порядку n группы G. Если n=p, то GZ/pZ и теорема верна. Пусть теорема уже доказана для всех групп порядка меньше n и, причем n делится на p.

Рассмотрим последовательно несколько случаев.

G содержит собственную (то есть не совпадающую со всей группой и нетривиальную) подгруппу H, порядок которой делится на p. В этом случае порядок H меньше n и по предположению индукции имеется элемент порядка p. Поскольку в этом случае теорема доказана.

G содержит собственную нормальную подгруппу. Если ее порядок делится на p, то по 1 теорема доказана. В противном случае на p делится порядок факторгруппы G/H и теорема в этом случае следует из доказанной выше леммы.

Если G — коммутативна, то возьмем любой. Если порядок g делится на p, то теорема доказана по 1, поскольку Z (g)G. Если это не так, то, поскольку в коммутативной группе все подгруппы нормальны, теорема доказана по 2.

Остается рассмотреть случай, когда порядки всех собственных подгрупп G не делятся на p, группа G проста (то есть не имеет собственных нормальных подгрупп) и не коммутативна. Покажем, что этого быть не может. Поскольку центр группы G является нормальной подгруппой и не может совпадать со всей группой, он тривиален. Поэтому G можно рассматривать как группу преобразований сопряжения на множестве G. Рассмотрим разбиение множества G на классы сопряженных элементов:. Здесь отдельно выделен класс и классы неединичных элементов. Стабилизатор St (g) элемента g e представляет собой подгруппу группы G, не совпадающую со всей группой. В самом деле, если St (g) = G, то g коммутирует со всеми элементами из G и потому gZ (g) = {e}. Значит, порядок этой подгруппы не делится на p, а потому делится на p:. Но тогда — не делится на p, что не соответствует условию.

Замечание.

Если число p не является простым, то теорема неверна даже для коммутативных групп. Например, группа порядка 4 коммутативна, но не является циклической, а потому не имеет элементов порядка 4.

Теорема о подгруппах коммутативной группы.

Для конечной коммутативной группы G справедлива теорема обратная к теореме Лагранжа: если m — делитель порядка группы, то в G имеется подгруппа порядка m.

Доказательство.

Проведем индукцию по порядку n группы G. Для n = 2 теорема очевидна. Пусть для всех коммутативных групп порядка < n теорема доказана. Пусть простое p делит m. По теореме Коши в G имеется циклическая подгруппа S порядка p. Так как G коммутативна, S — нормальная подгруппа. В факторгруппе G/S используя предположение индукции выберем подгруппу K порядка m/p. Если естественный гомоморфизм, то — подгруппа G порядка m.

Замечание.

Для некоммутативных групп данная теорема неверна. Так, например, в группе четных перестановок степени 4, которая имеет порядок 12, нет подгрупп шестого порядка.