Устойчивость сжатых элементов конструкций

Понятие о критической силе для сжатого стержня. Формула Эйлера

Из физики известно, что равновесие тела устойчиво, если при малом отклонении от равновесного положения возникает сила или пара сил, возвращающая его в положение равновесия. Кроме устойчивого известны также неустойчивое и безразличное равновесия, но для механических конструкций допустимы лишь случаи устойчивого равновесия. Если по каким-либо причинам упругое тело или конструкция при отклонении от равновесного положения не возвращается к исходному, то говорят, что произошла потеря устойчивости.

Явление потери устойчивости упругого тела рассмотрим на примере сжатого стержня. Представим, что на прямолинейный стальной стержень, зажатый одним концом в вертикальном положении (20.1, а) сверху надет шар. При небольшом значении силы тяжести G1, сжимающей стержень, он сохраняет прямолинейную форму и находится в устойчивом равновесии.

Действительно, если отклонить шар вместе с верхней частью стержня в сторону, то под действием упругих сил стержень, поколебавшись около положения равновесия, снова примет прямолинейную форму. Постепенно увеличивая сжимающую нагрузку путем установки более тяжелых шаров (20.1, б), увидим, что стержень хотя и сохраняет прямолинейную форму, но при отклонении от положения равновесия возвращается в исходное положение гораздо медленнее. Наконец, при некоторой нагрузке G3 (20.1, в) стержень изогнется, и прямолинейная форма устойчивого равновесия переходит в новую, криволинейную форму устойчивого равновесия.

Потеря устойчивости Если теперь стержень принудительно выпрямить или, наоборот, изогнуть еще больше, он после нескольких колебаний займет исходное равновесное положение в изогнутом состоянии.

Максимальная сжимающая нагрузка Fкр, при которой прямолинейная форма стержня устойчива, называется критической силой. Смысл расчета на устойчивость сжатого стержня заключается в том, чтобы он при некотором значении F осевой нагрузки сохранял устойчивость прямолинейной формы и обладал при этом некоторым запасом устойчивости (20.2): S FFкр. К определению запаса устойчивости Условие устойчивости сжатого стержня S y Fкр Sy, F где Sy — коэффициент запаса устойчивости. Допускаемая сжимающая сила F Fкр. Sy Задачу определения критической силы впервые чисто математически решил Л. Эйлер в 1744 г. Формула Эйлера имеет вид F р2 E I min, (20.1) кр м l 2 где Imin — минимальное значение момента инерции площадки поперечного сечения стержня, так как потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости;

l — длина стержня;

м — коэффициент приведения длины, т. е. число, показывающее, во сколько раз следует увеличить длину шарнирно закрепленного с обоих концов стержня, чтобы критическая сила для него была равна критической силе стержня в данных условиях закрепления.

Экспериментальные исследования, связанные с проверкой формулы Эйлера, показывают, что при прочих равных условиях (одинаковые материал, форма и размеры поперечного сечения, а также длина стержня) значение критической силы зависит от способа закрепления его концов. г д е Значения коэффициента приведения длины стержня при различных способах закрепления его концов Несколько случаев закрепления стержня и указаны соответствующие значения коэффициента приведения м: — оба конца шарнирно закреплены ();

• — один конец жестко закреплен, другой — свободен.
• — один конец закреплен шарнирно, второй имеет «плавающую» заделку;
• — один конец заделан жестко, второй имеет «плавающую» заделку;
• — оба конца заделаны жестко;
• — один конец заделан жестко, другой закреплен шарнирно