Векторный потенциал поля

Теорема 1. Для того, чтобы векторное поле, заданное в области Т, было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы это поле было полем ротора некоторого вектора, т. е. чтобы существовал вектор, во всех точках области Т удовлетворяющий условию.

.

Доказательство.

Достаточность. Имеем.

.

Необходимость. Пусть.

.

Найдем функцию, такую, что.

.

Ниже мы покажем, что функция определяется неоднозначно, поэтому на эту функцию можно наложить дополнительные условия. Пусть.

.

Тогда.

.

.

.

Выберем функции.

.

.

Покажем, что эти функции удовлетворяют системе уравнений (1). Действительно имеем.

.

.

Действительно, построенная функция удовлетворяет условию.

.

Функцию называют векторным потенциалом.

При доказательстве теоремы мы предложили метод, позволяющий определять векторный потенциал поля.

Замечание 1. Если функция является векторным потенциалом поля, то функция.

.

где — произвольная скалярная функция, также является векторным потенциалом поля .

Доказательство.

.

Следовательно, векторный потенциал определяется неоднозначно.

Пример 1. Показать, что поле соленоидально и найти векторный потенциал этого поля.

Решение. Имеем .

Положим.

.

Вычислим Ответ: .

Найденная функция является искомым векторным потенциалом. Проверим это утверждение, т. е. найдем ротор:

.

Условие выполнено. Нетрудно проверить, что векторным потенциалом этого поля может быть более симметричная функция.

.

Пример 2. Показать, что поле соленоидально и найти векторный потенциал этого поля.

Решение. Имеем .

Положим.

.

Вычислим Ответ:

Проверим:

.

Условие выполнено. Нетрудно проверить, что векторным потенциалом этого поля могут быть более симметричные функции.

.

Из приведенных примеров видно, что выражения для векторного потенциала для одного и того же поля могут заметно различаться. Это связано с тем, что к найденному векторному потенциалу можно добавить градиент любой скалярной функции.