Математическая статистика

Если же он равен нулю, то случайные величины независимы. Промежуточные значения rxy говорят о том, что две выборки коррелируют в некоторой степени.

Рис. 2. Графики линейной регрессии.

Для расчёта коэффициентов корреляции рассчитаем среднеквадратичное отклонение по формулам:

Найдем выборочные коэффициенты корреляции по формуле:

Поскольку выборочная оценка rху — величина случайная, то из того, что выборочный коэффициент корреляции ρxy отличен от нуля, нельзя заключить, что коэффициент корреляции ρxy также отличен от нуля. В связи с этим, чтобы определить, являются ли величины X и Y коррелированными или нет, проверим гипотезу о некоррелированности X и Y (H0: ρху = 0) при конкурирующей гипотезе H1: ρху ≠ 0 на заданном уровне значимости α. Для проверки такой гипотезы используют статистический критерий:

При справедливости гипотезы H0: ρху = 0 случайная величина T имеет распределение Стьюдента с τ = N -2 степенями свободы.

Рассматриваемой выборке соответствует наблюдаемое значение критерия T, равное Tнабл = 4,69.

Для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы τ = 24 — 2 = 22 найдем критическое значение из таблицы критических точек распределения Стьюдента Ткр = t (α, τ) = t (0,05, 22) = 2,07.

Так какТнабл- > Ткр, то есть -4,69- > 2,07, то нет оснований принимать гипотезу H0 о некоррелированности величин X и Y. Это означает, что выборочный коэффициент корреляции rxy значимо отличается от нуля, а X и Y коррелированны.

Для адекватной модели целесообразно построить доверительную область (рис. 3), которая с заданной надежностью 1 — α покрывает истинную линию регрессии.

Рис. 3. Доверительный интервал для прогноза Y.

1. Ахназарова С. Л., Кафаров В. В. Методы оптимизации эксперимента химической технологии: Учеб. пособие. -2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 1985. — 327 с.

2. Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы прикладной математики. — М.: Наука, 1972. — 592 с.

3. Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. — М.: Наука, 1976. — 296 с.

4. Львовский Е. Н. Статистические методы построения эмпирических формул: Учеб. пособие для втузов — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 1988. — 239 с.

5. Математическая статистика: Учебник для вузов/В.Б.Гориянов, И. В. Павлов, Г. М. Цветкова и др.; Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. — 424 с.

xi.

х.

у.

Y3.

Y1.

Y2.

Y4.

х.

у.