Асимптотика рядов Дирихле заданного роста

§ 0.1. Предварительные сведения.

Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнениях, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в некоторых областях функций. Огромный вклад в развитие данного направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Полиа и другие.

В 1882 году Ж. Адамар вывел формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций была решена М. Фудзивара [2], Н. В. Говоровым [3] и другими (см. [4]).

Пусть {рп} — возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющих условию.

В этом случае говорят, что последовательность {рп} имеет лакуны Фейера. Аналогично, целая функция п=о имеет лакуны Фейера, если последовательность S (f) = {п: сп Ф 0 (п > 1)} имеет лакуны Фейера. В этом случае ряд (2).

1) оо.

2) есть лакунарный степенной ряд вида оо оо = со+anzU = срп ^ (з) п=1.

Хорошо известно, что целая функция с лакунами Фейера принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз [5]. Этот интересный факт и другие соображения наводят на мысль о наличии у целых функций /, заданных рядами (3), хороших асимптотических свойств. Это подтверждается многочисленными исследованиями, которые проводились специалистами по теории функций в течение многих лет (см., н-р, [6]). Отметим, что условие (1) естественно появляется в случае, когда изучаются целые функции вида (3) в самом общем случае, то есть без никакого ограничения па рост. Если рассматриваются целые функции (3) с ограничением на рост, например, целые функции конечного порядка, условие (1) заменяется на более слабое, зависящее от поведения величины.

В случае, когда областью сходимости ряда (3) является единичный круг, асимптотические свойства суммы ряда зависят от функции [8].

В данной ситуации, в отличие от предыдущего случая, никаких ограничений на рост функции (3) сверху вблизи единичсм., и-р, [7]) иой окружности не требуется (достаточно, чтобы максимум модуля вблизи границы имел достаточно быстрый рост).

Обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими до бесконечности показателями.

Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятием /^-порядка, введенного Ж.Риттом. Он же выразил эти величины через коэффициенты ряда Дирихле [9].

Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Е. Дагене [10], В. Бойчук [И], К. Нандан [12], [13], Ю. Шиа-Юн [14].

В 1966 году М. Н. Шереметой было введено понятие обобщенного порядка для изучения роста целых или аналитических в круге функций. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была рассмотрена в [15]. Позже в терминах Л-порядка рост рядов Дирихле в полуполосах и на луче вблизи прямой сходимости в зависимости от коэффициентов был исследован A.M. Гайсиным в работах [16]-[18], а также в работах О. Б. Скаскива и В. М. Сорокивского [19], [20].

В работах М. Н. Шереметы исследовалось поведение целых функций, представленных лакунарными степенными рядами рядами Дирихле) в угле (соответственно, в полосе), рост которых ограничивался сверху некоторой положительной возрастающей выпуклой функцией [21], [22].

Естественно возникает задача об изучении асимптотики степенных рядов или рядов Дирихле в зависимости от роста на менее массивных континуумах, например, на лучах или на кривых, &bdquo-примыкающих" к границе области сходимости. Впервые такая задача для рядов (3), а также двойственная задача для рядов с вещественными коэффициентами, представляющих целые функции, была поставлена Полиа в [23].

Для целых функций произвольного роста обе задачи полностью решены в [6], [24]. В классе целых функций вида (3) конечного порядка (нижнего порядка) роста указанные задачи рассматривались и были решены в работах [25], [26].

Отметим, что соответствующие задачи для аналитических функций, представленных рядами (3), сходящимися лишь в единичном круге, изучались в [27].

В настоящей диссертации изучаются целые функции, представленные рядами Дирихле, абсолютно сходящимися во всей плоскости, рост которых в том или ином смысле ограничен некоторой выпуклой функцией. Для каждого такого класса целых функций указаны оптимальные условия, при которых верны точные асимптотические оценки для суммы ряда Дирихле на кривых, определенным образом уходящих в бесконечность. Здесь получены соответствующие результаты и для рядов Дирихле с вещественными коэффициентами.

Доказанные в диссертации теоремы обобщают и усиливают соответствующие результаты Полиа [23], Шереметы М. Н. [28], Гайсина A.M. [26], [29], Лагыпова И. Д. [25], а также Ма-кинтайра [30] и Евграфова М. А. [31].

Все результаты диссертации получены под непосредственным руководством A.M. Гайсина, которому выражаю глубокую признательность.

1. Hadamard J. Essai sur l’etude des fonctions donnees par leur developpement de Taylor// J. Math, pures et appl. 1892. V. 8. P. 154 — 186.

2. Fujiwara M. On the relation between M® and coefficients of a power series// Proc. Imp. Acad. Japan. 1932. V. 8, № 6. P. 220 223.

3. Говоров H.B. О связи между ростом функции, аналитической в круге, и коэффициентами ее степенного разложения// Труды Новочеркасск, политехи, ин-та. 1959. Т. 100. С. 101 115.

4. Мак-Лейи Г. Асимптотические значения голоморфных функций. М.:Мир, 1966. 104С.

5. Fejer L. Uber die Wurzel vorm Kleinsten absoluten Betrage einer algebraischen Gleichung//Math. Annalen. 1908. P. 413−423.

6. Гайсин A. M. Оценка роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых. // Матем. сб. 2003. Т. 194. № 8. С. 55 82.

7. Skaskiv О.В. On the Polya conjecture conserning the maximum and minimum of the modulus of an entire function of finite order given by a lacunary power series//Anal. Math. 1990. V. 16. № 2. P. 143−157.

8. Гайсин А. М. Поведение логарифма модуля суммы ряда • Дирихле, сходящегося в полуплоскости // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 53. № 4. С. 173 185.

9. Ritt J.F. On certain points in the theory of Dirichlet series// Amer. Math. J. 1928. V. 50. P. 73 83.

10. Дагене Е. Я. О центральном показателе ряда Дирихле// Литовский мат. сб. 1968. Т. 8, № 3. С. 504 521.

11. Бойчук B.C. О росте абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Дирихле// Мат. сб. К.: Наукова думка, 1976. С. 238 240.

12. Nandan К. On the maximum terms a maximum modulus analytic functions represented by Dirichlet series// Ann. Polon. Math. 1973. V. 28. P. 213 222.

13. Nandan K. On the lower order of analytic functions represented by Dirichlet series// Rev. roum. math, pures et appl. 1976. V. 21, № 10. P. 1361 1368.

14. Yu-ChiaYung. Sur la croissance et la repartition se Dirichlet qyi ne convergent que dans un demi-plan// Comptus rendus Acad. Sci. 1979. AB288, № 19. A891 A893.

15. Галь Ю. М., Шеремета M.H. О росте аналитических в полуплоскости функций, заданных рядами Дирихле// ДАН УССР. Сер. А, 1978. № 12. С. 1065 1067.

16. Гайсип A.M. Оценка роста функции, представленной рядом Дирихле, в полуиолосе// Матем. сб. 1982. Т. 117 (159), № 3. С. 412 -424.

17. Гайсин A.M. О росте суммы ряда Дирихле на луче// Линейные операторы в комплексном анализе. Ростов-на-Дону.: Изд-во Ростовского университета. 1994. С. 27 34.

18. Гайсин A.M. Рост функции, представленной рядом Дирихле, на луче// Исследования по теории аппроксимации функций Уфа.: БФАН СССР. 1984. С. 20 29.

19. Скаскив О. В., Сорокивский В. М. О росте на горизонтальных лучах аналитических функций, представленных рядами Дирихле//Укр. мат. ж. 1990. Т. 42, № 3. С. 363 -371.

20. Сорокивский В. М. О росте аналитических функций, представленных рядами Дирихле// Укр. мат. ж. 1984. Т. 36, № 4. С. 524 528.

21. Шеремета М. Н. Рост в углу целых функций, заданных лакунарными степенными рядами// Доклады АН СССР. 1977. Т. 236, № 3. С. 556 560.

22. Шеремета М. Н. Рост в полосе целых функций, представленных рядами Дирихле// Изв. АН СССР. Серия математическая. 1981. Т. 45, № 3. С. 674 687.

23. Polya. G. Untersuchungen iiber Liicken und Singularitaten von Potenzreihen// Math. z. 1929. V. 29. P. 549 640.

24. Гайсин A.M. Решение проблемы Пойа// Матем. сб. 2002. Т. 193, № 6. С. 39 60.

25. Латыпов И. Д. Асимптотическое поведение целых функций, представленных рядами Дирихле// Диссканд.физ.-мат. наук. Уфа: Башкирский госуниверситет, 2004 106 с.

26. Гайсин А. М. К одной теореме Пойа о целых функциях с вещественными коэффициентами Тейлора// Сиб. мат. журн. Т. 38, № 1. 1997. С. 46−55.

27. Белоус Т. И. Асимптотические свойства рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости// Диссканд. физ.мат. наук. Уфа: Уфимский государственный авиационный технический университет, 2004 103 с.

28. Шеремета М. Н. О росте на действительной оси целой функции, представленной рядом Дирихле// Матем. заметки. 1983. Т. 33, вып. 2. С. 235−245.

29. Гайсин А. М. Об одной гипотезе Полна// Изв. РАН Сер.матем. 1994. Т. 58. № 2. С. 73 92.

30. MacintyreA. J. Asymptotic paths of integral functions with gap power series// Proc. London Math. Soc. 1952. — V. 2. — № 3. — P. 286−296.

31. Евграфов М. А. Об одной теореме единственности для рядов Дирихле// Успехи мат. наук. 1962. — Т. XVII. -вып. 3. — С. 169−175.

32. СенетаЕ. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985.

33. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.

34. Манделъбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.: ИЛ, 1955.

35. ГайсинА.М. Теорема единственности для рядов Дирихле// Матем. заметки. 1991. — Т. 50. — вып. 2. — С. 54−60.

36. ФрынтовА.Е. Операторы, сохраняющие субгармоничность, и некоторые задачи классического комплексного анализа// Дисс.. докт. физ.-мат. наук. ФТИНТ НАН Украины, Харьков, 1995.

37. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.:Наука, 1976. 536 С.

38. Гайсин А. М., Латыпов И. Д. Асимптотика логарифма максимального члена изменненого ряда Дирихле// Известия вузов. Математика. 2002. № 9 (484). С. 15−24.

39. Гайсин А. М. Поведение суммы ряда Дирихле заданного роста // Матем. заметки. 1991. Т. 50. вып. 8. С. 47 56.

40. Гайсин А. М., Латыпов И. Д. Асимптотическое поведение суммы ряда Дирихле заданного роста на кривых// Мат. заметки.- 2005, — Т. 78. № 1. С. 37−51.

41. Шеремета М. Н. Об одной теореме Полиа// Укр. мат. журн. Т. 35, т. 1983.С. 119−124.

42. Шеремета М. Н. О целых функциях с вещественными тейлоровскими коэффициентами// Укр. мат. журн. Т. 37, т. 1985. С. 786−787.

43. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. 592 С.

44. Латыпов И. Д. Лемма типа Бореля-Неванлинны//Региональная школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых. Сборник трудов. Математика. Том I.- Уфа: РИО БашГУ, 2001, С. 143.

45. Говоров Н. В. Об оценке снизу функции, субгармонической в круге// Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Вып. 6. 1968. С. 130−150.

46. Хеймап У. Мероморфные функции М.:Мир, 1966.-288 с.

47. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980. 384 С.

48. Красников И. Ф. Оценка снизу для целых функций конечного порядка// Сиб. мат. журн. Т. 6, № 4. 1965. С. 840−861.146.