Интерполяция функций. 
Элементы теории погрешностей. 
Интерполяция и аппроксимация функций

Пусть на отрезке определена некоторая функция однако полная информация о ней недоступна. Известны лишь ее значения в конечном числе точек этого отрезка, которые мы будем считать занумерованными в порядке возрастания:

.

Требуется по известным значениям.

.

" восстановить", хотя бы приближенно, исходную функцию то есть построить на отрезке функцию, достаточно близкую к. Функцию принято называть интерполирующей функцией, точки — узлами интерполяции.

Подобные задачи часто возникают на практике, например, при обработке экспериментальных данных, когда значения переменной, зависящей от, измеряется в конечном числе точек: , или при работе с табличными функциями, если требуется вычислить при значениях аргумента, не совпадающего ни с одним из табличных .

Поставленный выше в общей форме вопрос о приближении функций является достаточно сложным. Существует не один подход к его решению. Мы ограничимся изложением трех наиболее распространенных методов.

Постановка задачи

Выберем некоторую систему функций, заданных на отрезке, и будем строить как их линейную комбинацию:

.

где числовые коэффициенты подлежат определению, согласно условиям:

.

Равенства представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов :

.

или в развернутом виде:

.

Для того чтобы коэффициенты можно было определить и притом единственным образом, необходимо и достаточно, чтобы определитель полученной системы линейных уравнений был отличен от нуля:

.

Определение.

Система функций удовлетворяющая при фиксированных значениях условию, называется Чебышевской.

Очевидно, что для однозначной разрешимости задачи интерполирования в классической постановке необходимо и достаточно, чтобы система функций была Чебышевской. Только такие системы функций мы и будем использовать в этой главе. Необходимым условием принадлежности системы функций к Чебышевской является их линейная независимость.