Алгебраический метод. 
Микропроцессорные системы управления

Исследуем устойчивость САУ температуры и определим амплитуду и частоту колебаний алгебраическим методом (см. рис. 1).

По структурно-математической схеме (см. рис. 1) определяем дифференциальное уравнение линейной части системы при отключенной местной обратной связи и :

(54).

Для нелинейного звена запишем гармонически линеаризованное выражение.

(55).

где для нелинейности (см. рис. 2).

(56).

Подставляя значение u из уравнения (55) в уравнение (54), получим линеаризованное уравнение замкнутой нелинейной системы.

(57).

где k = k2k3k0k1 — коэффициент усиления линейной части системы.

Этому дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение.

(58).

Условие существования в уравнении (58) периодического решения.

(59).

будем отыскивать с помощью критерия Михайлова. Для этого в характеристический полином:

(60).

подставим, выделим вещественную и мнимую части и приравняем их к нулю:

(61).

Из второго уравнения системы (61) найдем искомую частоту периодического решения. Подставим это решение в первое уравнение (61) и найдем выражение, связывающее амплитуду периодического решения с параметрами системы:

(62).

Отсюда получим.

Для исследования устойчивости найденного периодического решения воспользуемся приближенным аналитическим условием, согласно которому периодическое решение устойчиво, если выполняется неравенство.

(63).

Из выражений (61) находим.

Подставим выражение для частных производных в (63) и одновременно произведем замену .

Получим условие устойчивости периодического решения в виде.

или (64).

В итоге.

В данном случае условие существования периодического решения имеет вид:. Следовательно, автоколебания отсутствуют, состояние равновесия устойчиво.