Сингулярные интегральные уравнения

Приведенные методы решения краевой задачи Римана оказываются полезными при исследовании сингулярных интегральных уравнений (с.и.у.) на замкнутом контуре.

(3.1).

При исследовании с.и.у. вида (3.1), как правило, выделяют характеристический оператор

и вполне непрерывный оператор

Вначале исследуем разрешимость характеристического уравнения.

(3.2).

Одним из методов решения характеристических уравнений является его сведение к краевой задаче Римана.

Введем кусочно-аналитическую функцию, заданную интегралом типа Коши, плотностью которого служит искомое решение характеристического уравнения.

Используя формулы Сохоцкого? Премеля, имеем:

(3.3).

Подставляя в уравнение (3.2) вместо и их значения по формуле (3.3), приходим к краевой задаче:

(3.4).

Где.

Так как решение уравнения (3.2) ищем в виде интеграла типа Коши, который на бесконечности равен нулю, то решение краевой задачи (3.4) ищем при дополнительном условии.

(3.5).

Индекс коэффициента краевой задачи Римана (3.4) называется индексом сингулярного интегрального уравнения (3.2).

Нормальным случаем уравнения (3.2) называется случай, когда коэффициент соответствующей краевой задачи Римана не общается на контуре в нуль или бесконечность. Исключительным случаем сингулярного интегрального уравнения называется случай, когда соответствующий коэффициент обращается в нуль или бесконечность на контуре. Нетрудно видеть, что в нормальном случае на .

Теорема 3.1. Если, то однородное уравнение имеет линейно независимых решений. Если, то однородное уравнение имеет только тривиальное (нулевое) решение. Если, то неоднородное уравнение разрешимо при любой правой части и его общее решение зависит от произвольных постоянных. Если, то неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет условия.

где.

Рассмотрим теперь общее с.и.у.

(3.6).

В настоящее время неизвестны методы решения полных сингулярных интегральных уравнений вида (3.6) в замкнутой форме. Результатом этого исследования являются теоремы Нетера.

Теорема I. Число решений сингулярного интегрального уравнения (3.6) конечно.

Теорема II. Необходимым и достаточным условием разрешимости с.и.у. (3.6) является выполнение равенства.

где, ? полная система линейно независимых решений союзного однородного уравнения, где.

Теорема III. Разность числа линейно независимых решений особого уравнения и числа линейно независимых решений союзного уравнения зависит лишь от характеристической части оператора и равна ее индексу, т. е. .