Движение заряженной частицы в поле неплоской электромагнитной волны

Движение частицы в неплоской волне

О неплоских электромагнитных волнах

Плоская монохроматическая электромагнитная волна бесконечна в пространстве, нигде не начинается и нигде не обрывается, амплитуда ее колебаний не зависит от времени, следовательно, она является идеальным объектом. В природе же все электромагнитные волны имеют некоторый источник, имеют начало, ранее которого их не было, а значит, имеют область пространства и времени, в которой их когда-то не было, то есть формально их амплитуда зависит как от времени, так и от координаты. Такие волны, конечно же, не являются плоскими. Плоские электромагнитные волны — суть нестационарные поля, которые могут быть представлены в декартовой прямоугольной системе координат так, что будут иметь периодичность вдоль одной из координат и обладать непрерывной трансляционной симметрией по двум другим координатам. Поскольку, как уже замечено, случай плоских волн идеален, то интерес представляют неплоские волны, которые также хорошо могли бы описываться математически и возникали бы в некоторых специальных, модельных условиях.

По определению напряженность электрического и магнитного поля электромагнитной волны выражаются через векторный потенциал (2.2). В отсутствие источников и среды скалярный потенциал волны удобно положить равным нулю ([5, с. 5], [23]), тогда на векторное поле будет наложена кулоновская калибровка, при которой сам векторный потенциал, напряженность электрического и магнитного поля все вместе удовлетворяют волновому уравнению [52] (2.3), где на месте могут быть компоненты полей, и .

Последующий вывод неплоской волны в вакууме возможен двумя путями: либо из уравнения (2.3) отыскивается потенциал, а затем по нему строятся напряженности и, исходя из определений (2.2), либо из (2.3) сразу ищутся поля и. И в первом, и во втором случае система координат выбирается так, чтобы по максимальному числу осей наличествовала симметрия, т.к. в этом случае лапласиан в уравнении (2.3), естественно, упрощается.

Известно, что вообще решение одномерной краевой задачи для уравнения гиперболического типа задаётся с помощью формулы Даламбера [25, с. 50−52]:

, ,.

.

Однако, обычно, решение требуется не в интегральном виде, поэтому приходится прибегать к различным аналитическим маневрам. При попытке рационального выбора системы координат лишь сравнительно небольшое их число дает простые решения.

Лапласиан в криволинейных не ортогональных системах координат называется оператором Лапласа-Бельтрами [53]:

.

где — метрический тензор,,. С его помощью волновое уравнение (2.3) для компонент записывается в форме.

(3.1).

На практике, как правило, чаще выбирают ортогональные системы координат, поэтому волновое уравнение (3.1) решать не приходится. Решения дифференциальных уравнений в ортогональных координатах принято искать в виде функций, получивших наименование специальных. Наиболее удобоупотребимы сферическая, цилиндрическая, сфероидальная системы координат. Оператор Лапласа в ортогональных координатах записывается сравнительно просто:

.

где, и — коэффициенты Ламэ. Очевидно, для цилиндрических и параболических координат, а также для биполярных координат на плоскости, одна из осей которых совпадает с какой-нибудь осью декартовой системы, вдоль этой совпадающей оси всегда возможна плоская волна:

.

Когда искомая функция допускает разделение переменных, то волновое уравнение приводится к уравнению Гельмгольца.

.

И, например, функции Бесселя и сферические функции Бесселя в этом случае являются радиальными частями решений этого уравнения [54, с. 11] в цилиндрической и сферической системах координат, а просто сферические функции — это угловая часть решений уравнения Гельмгольца в сферической системе координат. Уравнение Гельмгольца в сферической системе координат со своими решениями [55, л. 5]:

.

, ,.

где — присоединенные полиномы Лежандра, — функции Бесселя полуцелого номера, — сферические радиальные функции, а то, что в квадратных скобках — шаровая сферическая функция, обозначаемая. Поскольку для точечного источника волн наличествует центральная симметрия, то вторую и третью производную следует положить равными нулю, что в общем решении можно осуществить закреплением углов и на какую-либо величину, тогда в качестве решения останется только сферическая радиальная компонента.

В цилиндрической системе координат решением уравнения Гельмгольца [56, с. 78−79].

.

не зависящими от, являются стоячие волны, представимые произведением синусоиды (косинусоиды) по углу и линейной комбинации функций Бесселя и Неймана :

или ,.

где и — произвольные постоянные (вообще говоря, комплексные). Чтобы решение сходилось при, обычно подразумевают, что [52]. См. также по этой теме [25, с. 523−527].

В сфероидальных координатах угловая и радиальная часть решения уравнения Гельмгольца оказываются взаимосвязанными. Оператор Лапласа с сфероидальных вытянутых (верхний знак) и сплюснутых (нижний знак) координатах [54, с. 20−21]:

.

Множители решения уравнения Гельмгольца и подчиняются дифференциальным уравнениям с решениями.

.

.

, ,.

где — константа разделения, — фокусное расстояние в эллиптической системе координат,. Напомним, что сфероидальные координаты связаны с декартовыми прямоугольными формулами (ось совмещена с осью вращения):

, ,.

, .

Отметим, что решать одно-единственное векторное волновое уравнение (2.3) гораздо проще, чем систему уравнений Максвелла в комплексных амплитудах [57].

,.

которая даже просто в ортогональных координатах для монохроматических полей в отсутствие источников записывается в очень громоздком виде [58, с. 7].

,.

,.

где векторы напряженности электрического и магнитного поля записаны в виде, , а, , — орты вдоль, соответственно, координат, , .

Вывод неплоских волн в различных криволинейных системах координат формально допустим не только из волнового уравнения (2.3). Запись уравнений Максвелла все же может быть проще, чем волновое уравнение, если ввести комплекснозначный вектор Римана-Зильберштейна. С ним уравнения Максвелла записываются компактно [55, л. 2].

и включают в себя лишь частные производные первого порядка. Вектор носит характер комплексной амплитуды, причем — есть плотность энергии электромагнитного поля. Весьма просто с помощью вектора находятся волны, например, в цилиндрической системе координат [55, л. 2].

Таким образом, вывод той или иной неплоской волны в криволинейных системах координат связан с формой уравнения, представляющего эту волну. Так, напряженности электрического и магнитного поля могут находиться непосредственно из волнового уравнения (2.3) или уравнений Максвелла, либо опосредованно через векторный потенциал, получаемый из (2.3). В обоих случаях выбор удобной системы координат позволяет, в силу наличия симметрий по определённым направлениям, резко упростить задачу поиска вычислимых аналитически случаев.