Бакалавр
Дипломные и курсовые на заказ

Нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов

Диссертация: Нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Одной из первых работ в этом направлении стала статья В. И. Жегало-ва, в которой исследована краевая задача, когда вместо значения искомого решения на одной из характеристик задаются их линейные комбинации с переменными коэффициентами на обеих характеристиках. Важную роль при пртттргтт/тм 1ГЯИНПЙ nnnfinpuu иррпрппванма Д А/Т Tipvumpren d. R ЛЛ1 Ott '¦ ' ' Ч^ 111Х1Х jу «.¦""¦ Л. li^y vs V/V… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Операторы дробного интегро-дифференцирования и rnggHPHiifi влагопереноса. .,
    • 1. 1. Интегралы и производные дробного порядка
      • 1. 1. 1. Обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования и некоторые их свойства
      • 1. 1. 2. Обобщенные операторы М. Сайго в пространстве Гельдера
    • 1. 2. Уравнение влагопереноса
    • 1. 3. Краткие
  • выводы и примечания к главе 1
  • Глава 2. Некоторые краевые задачи для уравнения влагопереноса
    • 2. 1. Краевая задача с одним нелокальным условием для уравнения влагопереноса
      • 2. 1. 1. Краевая задача с операторами Кобера-Эрдейи и М. Сайго
      • 2. 1. 2. Аналог задачи Дарбу для уравнения и системы уравнений влагопереноса
      • 2. 1. 3. Нелокальная задача с дробными производными для одного гиперболического уравнения
    • 2. 2. Нелокальные краевые задачи с операторами М. Сайго и типа
  • Х^л^лгч Ч^ТТТ7 ^
    • 1. и- ч^х^/^ч*.ii.il. .. ., и I
      • 2. 3. Аналог второй задачи Дарбу для уравнения влагопереноса.. 63 2.3.1. Нелокальная краевая задача для уравнения влагопереноса при |а| <
        • 2. 3. 2. Нелокальная краевая задача для уравнения влагопере-носа при, а =
        • 2. 3. 3. Нелокальная краевая задача для уравнения влагопере-носа при, а =
      • 2. 4. О задаче для уравнения влагопереноса с обобщенными оператог.д. Л. т^ т рс1МИ ДриипОю ИхахС1 рО-ДКСрЦ^срйпЦйрО^апИЛ о хчр<�Асоо1л у’ьлипйлл I О
        • 2. 4. 1. Нелокальная задача для уравнения влагопереноса при
        • 2. 4. 2. Исследование задачи для уравнения влагопереноса в исключительных случаях (о = ±1)
      • 2. 5. Краткие
  • выводы и примечания к главе 2
  • Г^ - о тт, г- -, , о. ис^шкииШиыС КрайЬЫС аида'-ш длл ^ ри.1з11СЦ|(1й СлШшаиного типа
    • 3. 1. Нелокальные краевые задачи с оп^патоиами Колена—Этшейи для параболо-гиперболического уравнения
      • 3. 1. 1. Нелокальная краевая задача для уравнения (3.1) при а| <
      • 3. 1. 2. Существование и единственность решения задачи 3.1 при, а = ±
      • 3. 2. Задача, в которой значения функции и ее производной связаны операторами М. Сайго
      • 3. 3. Задача со смещением для уравнения (3.1) с обобщенными опера

      1 1 1 г — юрами дриино1 о йшегро-дифференцирования в краевом условии iuo 3.3.1. Задача для уравнения смешанного типа с оператором («'qttr'i»" ттли мр^т^р r-ppр.утпттх^ст о Tjr. yM^T-Tpft ггглгмгггпгп~ ' «' ' ' 1 ' X „I * 1“» J ----1 t .i. .i 1.% г i .tw. J i : —.. / кости |a? <

      3.3,2. Задача для уравнения смешанного типа с оператором М. Сайго при параметре уравнения в нижней полуплоскости, а = 1.

      3.3.3. Задача для уравнения смешанного типа с оператором М. Сайго при параметре уравнения в нижней полуплоскости, а — —1.

      3.4. Краткие

      выводы и примечания к главе 3.

Нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Актуальность темы

Работа посвящена исследованию нелокальных ivpcj. OiiblX ос1Д<�ЛЛ1 ?Jisl ВЫр^лЛДсЬ1О1цИ.л.0у1 j рчШibiiJrija i J iiiiict? ifliji уравнений смешанного типа с дробной производной в ограниченных областях.

Орнпкоппттагятлцтт/тми в развитии тропии vnaBHPHMft ом^щаннпгг" типа стали труды Ф. Трикоми [74] и С. Геллерстедта [80]. В работах отечественных и зарубежных математиков рассматривались проблемы разрешимости известных классических краевых задач, а также ставились и исследовались новые краевые задачи Большая заслуга в развитии таких исследований принадлежит А. В. Бицадзе, С. П. Пулькину, В. А. Ильину, Е. И. Моисееву, А. М. Наху-шеву, В. И. Жегалову. Интересные результаты получены в работах А. П. Сол-датова, А. И. Кожанова, А. Н. Зарубина, К. Б. Сабитова, И. Б. Нлещинского, P.C. Хайруллина, В. А. Елеева, A.B. Псху, O.A. Репина, Л. С. Пулькиной, А. Андреева, Iii. II. ч^ГОриДПИКОвН и др.

Современные проблемы физики, как отмечает в своей обзорной работе.

Л Д л I I7] гтО’о тт&у тттл" о о fS" рг>о il i (т rrMjoi 11 то р^аттл^тчэлгт-ит/'л ттоРО1″ 1^ класса задач, получивших название нелокальных задач. Сам термин «нелокальная» задача, по-видимому, впервые встречается в работе А. А. Дезина [18].

В диссертационной работе рассматриваются задачи для уравнения вла-гопереноса у2ихх — иуу + аих — 0 и уравнения смешанного типа, представленного в верхней полуплоскости уравнением диффузии дробного порядка, в нижней — уравнением влагопереноса.

Уравнение влагопереноса играет заметную роль во многих областях науки.

Как известно, скорость капиллярного движения влаги wi.

ПоБсрХНиьТЪ К^ТирОГО Пи^ГуПехеТ ПОСТОЯННЫЙ ПиТиК БЛслПи у у 00 ОЛсДуЮЩИмИ краевыми условиями: т) =о, :?(оо, т) = 0, ¿-(х, 0) = 0, — 0. Одна.

КТ! Я 1998 г Я, А Ня^аИРНР [541 П<�ЛПРНПДЯТТЯ НРКПГ>РР^" Т, ГТПГ>Т, К ТЯКПЙ ТТОРТ’ЯТТПТЧТГТГ и, уточнив ее, нашла конструктивную формулу решения вновь поставленной задачи через гипергеометрические функции.

Как оказалось, уравнение, полученное А. В. Лыковым, имеет место не только в физике, но и в биологии. Так, если за щ = ?) принять одномерный поток некоторой субстанции (например, биомассы микробной популяции) в точке? биологического реактора 0 ^? ^ 1 в момент времени за П — коэффициент диффузии, за Хз > 0 — константу, связывающую скорость переноса V и путь движения следующим соотношением: V = ,.

Г—Л г}&bdquoП ^Я2″ г&о, то и, 1 оудет удовлетворять уравнению [л] — т-, которое отличается от уравнения, выведенного Лыковым, лишь обозначениями. Сдеттот> г" 'У г/л 1 1тотэттогтит1 '>'1 Мр11 ' оопо* тогутту IV ог>пТТ*>пттГ1 г гг* —— / п / у.^Л.'^—X ————-/-и> У л/хзуо, и (х, у) = щ (л/хзй)У, хЬо) мы придем к более простому соотношению у2иГт—и1Ш+аит = 0. Последнее в силу его физического смысла получило название уравнения влагоперепоеа.

В монографии А. М. Нахушева [51] также показано, что к уравнению влаг гопереноса можно прийти и с помощью линеаризации реактивно-диффузионного уравнения вида щ — [(оси + /3) и]^ + ци — -уи2, где и = и (х< I) — скалярная функция точки х е Я и времени, а ск, /5, ¡-л и 7 —постоянные величины.

Однако было бы историческом несправедливостью утверждать, что уравиеиием влагопереноса впервые заинтересовались физики, В своей книге [10], вышедшей в 1959 г., A.B. Бицадзе рассматривает уравнение у2ихх — иуу + аих = 0 как пример уравнения 2/та0−0+а (а, у) щ+с{х, у) и = 0, для которого при? a? ^ 1 задача Коши с начальными данными на линии параболического вырождения корректна, несмотря на то, что нарушено условие.

Геллерстедта lim а (х, у) = 0. Поэтому уравнение влагопереноса так-у—>+о же называют уравнением Бицадзе—Лыкова. Еще ранее К. И. Карапетян [31] установил корректность задачи Коши для уравнения влагопереноса в случае |а| ^ 1/11, а — ½- Чи Минь-ю [41] исследовал эту задачу при более повышенном требовании на гладкость начальных данных. Уравнение влагопереноса с точки зрения математики интересно еще и тем, что в случае, а = 1 вторая задача Дарбу оказывается некорректно поставленной [4−5, 51].

На необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда в одной части области задано параболическое уравнение, в другой — гиперболическое, было указано в 1959 г. И. М. Гельфандом [17]. Он приводит пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой: в канале движение описывается волновым уравнением, вне его —уравнением диффузии. Я. С. Уфляид в статье [75], опубликованной в 1964 г., описывает задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда на участке 0 < х < I полубесконечной линии потерями пренебрегается, а остальная часть линии рассматривается как кабель без утечки.

В качестве примера для уравнения влагопереноса или уравнений, частным случаем которых оно является, можно привести статьи А. М. Нахуше-ва [45, 46, 49], Т. Ш. Кальменова [26−28], В. Н. Врагова [12], С. К. Кумы-ковой [36],. для параболо-гиперболических уравнений — статьи Г. М. Стручи-ной [73], С. И. Гайдука, А. В. Иванова [13], Л. А. Золиной [24], X. Б. Бжихатло-ва, A.M. Нахушева [8], В. Н. Абрашина [1], В. А. Елеева [20]. Следует также отметить, что интерес к подобного рода проблемам не ослабевал и в дальнейшем (см. работы А, М, Нахушева [48], Р. Н, Хубиева [77], М. М. Смирнова [70], Н. Ю. Капустина [29, 30], К. Б. Сабитова [66], А. Сопуева, Т. Д. Джураева [71], Б. Исломова [25], М. Е. Лернера [39]).

Однако в задаче Трикоми одна из характеристик в гиперболической части Г границы смешанной области свободна от граничных условий. Поэтому точки Г не являются равноправными носителями граничных данных. Такая ситуация имеет место и в задаче С. Геллерстедта [80], в «ударных» задачах Ф. И, Фпянкття Р761. r яялтя. че A.B. Випя. ляе с. отхлпом от хяпя.ктр.пир.тик f9l, ——— L J i — ~ * ' - - — ——1- гт — - ——-г-1——— - х——-X" ———— l" - J.

Это обстоятельство вызывает принципиальные затруднения при построении теории краевых задач для уравнения смешанного типа в многомерных областях. В связи с этим в 60-х годах А. В. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя независимыми переменными, когда все точки гиперболической части границы равноправны как носители граничных данных.

Одной из первых работ в этом направлении стала статья В. И. Жегало-ва [23], в которой исследована краевая задача, когда вместо значения искомого решения на одной из характеристик задаются их линейные комбинации с переменными коэффициентами на обеих характеристиках. Важную роль при пртттргтт/тм 1ГЯИНПЙ nnnfinpuu иррпрппванма Д А/Т Tipvumpren d. R ЛЛ1 Ott '¦ ' ' Ч^ 111Х1Х jу «.¦""¦ Л. li^y vs V/V XU1I1U1 vLflA Vtw XAJk Л Ж V/V a. V^vy 4Af4 л Л X J, А л А. «^ т л. • ж Л v^ ХАЛ V ХУ ц^ ^ X ^J «Jt, X предложил ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. Эти задачи явились непосредственным и существенным обобщением задачи Трикоми. В отличие от задачи Трикоми здесь задается условие, связывающее значение искомого решения или его производной, в том числе дробной, в трех точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья — на линии вырождения уравнения.

Естественность постановки задач, когда краевые условия представляют собой соотношение между значениями неизвестной функции, вычисленной в различных точках границы, отмечалось еще В, А, Стекловым [72]. Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов теплои массообмена в капиллярно-пористых средах [51], математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, изучения лазера [79], при изучении процесса размножения клеток [87]. В своей содержательной и полезной с практической и теоретической точек зрения монографии [69] Л. И. Сербииа показывает, что именно нелокальные краевые условия играют важную роль в математических моделях движения грунтовых вод и почвенной влаги.

Значительные результаты по краевым задачам со смещением для уравнения влагопереноса или уравнениям, частным случаем которых оно является, получены в работах С. К. Кумыковой [38], A.A. Килбаса, O.A. Репина, М. Сайго [81, 82], O.A. Репина [63], для параболо-гиперболических уравнений— в работах X.Г. Бжихатлова [7], В. А. Елеева [21], O.A. Репина [62], A.A. Килбаса, O.A. Репина [34], A.A. Керефова, А. О. Желдашевой [32].

А. М. Нахушев [50] подчеркивал, что интерес к двумерным краевым задачам со смещением объясняется не только тем, что они представляют собой существенное обобщение задачи Трикоми и имеют многомерные аналоги, но и тем, что содержат широкий класс корректных самосопряженных задач.

Отличительной особенностью задач, рассмотренных в диссертации, является наличие в краевых условиях операторов дробного интегро-диффе-ренцирования М. Сайго, введенных в работах [83−85], а также модификации операторов Кобера—Эрдейи [68]. Эти операторы представляют собой обобщение широко известных дробных интегралов и производных Римана—Ли-увилля [68], которые имеют многочисленные практические приложения. Так, поток газа Трикоми на звуковой линии прямо пропорционален дробной производной порядка 2/3 от функции тока [52], фрактальная размерность множества Кантора совпадает с дробным показателем интеграла, уравнения в дробных производных описывают эволюцию некоторых физических систем с потерями, причем дробный показатель производной указывает на долю состояний системы, сохраняющихся за время эволюции? [56], турбулентный поток пропорционален дробной производной от удельной влажности на деятельной поверхности [69].

Таким образом, уравнение влагопереноса и уравнения смешанного типа, а также краевые задачи для них, вызывают большой практический и теоретический интерес. Помимо этого, важным аспектом исследования подобного рода задач является получение новых результатов в теории дробного интегро-диф-ференцирования и в области дифференциальных, интегральных уравнений. Несмотря на то, что диссертационная работа носит теоретический характер, ее результаты могут получить хорошую физическую интерпретацию.

Цель диссертационной работы. Целями и задачами исследования являются: а) постановка новых нелокальных задач для уравнения влагопереноса и уравнения смешанного типа, в верхней полуплоскости представленного уравнением дробной диффузии, в нижней — уравнением влагопереноса и доказательство теорем существования и единственности решения этих задачб) выявление случаев, допускающих возможность получения решений исследуемых задач в явном видев) нахождение условий на параметры операторов, заданных функций и констант, позволяющих максимально широко охватить класс рассмотренных в работе задач.

Научная Все результаты являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить: а) для уравнения влагопереноса (гиперболического типа) получено решение задач со смещением, краевые условия которых содержат линейную комбинацию операторов типа Кобера—Эрдейи и М. Сайго. При этом представлен большой диапазон изменения функций и констант, входящих в краевые условияб) для системы дифференциальных уравнений в частных производных с двумя переменными рассмотрены задача Дарбу, для которой доказана корректность задачи, и нелокальная краевая задача, для которой получены условия неединственностив) для уравнения влагопереноса при различных значениях коэффициента при младшей производной доказаны теоремы существования и единственности решений краевых задач, содержащих операторы в смысле Кобера—Эп-дейи и М. Сайгог) для уравнения смешанного типа с дробной производной в ограниченной области решены нелокальные краевые задачи. Решения этих задач получены в замкнутой форме с использованием функций типа Миттаг—Леффлера.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:

— Первой и Четвертой Всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, май 2004 г., май 2007 г.);

— 5-й международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, сентябрь 2004 г.) — ^Г^ГУТ (Пялтрпгтгпы [1 яргнпи рт-иттрн^грг'К'Птл ь’пигЬрпрттттитл' ягтрттт^.

-*• м «-д Ч-^ кч^ л л. чу чу V а%л>у/ -л. л. л, чу л, а чу л.. чу 1 л к чу л, А х V чу л, м ч^у чу чух ?1 ^¿-жи ^ чА-а «л ЧЛ (к Ж^у V аау.

2005 г.);

— Международной конференции «Современные методы физико-математических наук» (Орел, октябрь 2006 г.);

— семинарах кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета (руководитель — д.ф.-м.н., профессор В. П. Радченко, декабрь 2007 г., декабрь 2008 г.);

— VI Школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, май 2008 г.);

— международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (Стерлитамак, июнь 2008 г,);

— семинаре кафедры прикладной математики Казанского государственного университета (руководитель — д.ф.-м.н., профессор Н. Б. Плещинский, декабрь 2008 г.);

— научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям Белгородского государственного университета (руководитель — д.ф.-м.н., профессор А. П. Солдатов, февраль 2009 г.).

ТТубликаттии. Ог. ноштьте пеяультятьт гщспептяттии опубдиковя. ньт н пятттау 1 —¦ - «» 1 ~ - г~—~ ~ ~ ~ х" ' ' О ~ ~ — дцати работах. Часть результатов п.п. 2.1.2, 2.3.1 главы 2 получена в совместных работах с профессором О. А. Репиным (Россия, Самарский государственный технический университет), доцентом Е. Н. Огородниковым (Россия, Самарский государственный технический университет). В совместных работах соавторам принадлежат постановка задач и идея доказательств, а автору диссертации — точные формулировки и доказательства утверждений.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, которые разбиты на двенадцать параграфов, списка использованной литературы. Объем диссертации составляет 126 страниц.

Список литературы

содержит 102 наименования.

Заключение

.

В диссертационной работе достигнуты следующие результаты.

1. Для уравнения Бицадзе—Лыкова (уравнения влагопереноса) поставлены и исследованы новые краевые задачи со смещением.

Установлен эффект влияния коэффициента при младшей производной на корректную постановку нелокальных краевых задач. Выявлены случаи, когда можно получить явные решения рассматриваемых задач и даны ответы на вопросы о единственности этих решений.

2. Для одной системы дифференциальных уравнений с частными производными, которая записана в векторной форме уравнения влагопереноса с инволютивной матрицей, рассмотрены две нелокальные задачи и построены их решения в замкнутом виде.

3. Доказана однозначная разрешимость новых нелокальных краевых задач для уравнения смешанного типа, в верхней полуплоскости представленного уравнением дробной диффузии, в нижней — уравнением влагопереноса.

Разработана методика редукции этих задач к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода.

Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теоретических исследованиях в таких математических дисциплинах, как дробное исчисление, дифференциальные и интегральные уравнения, при решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными, а также при исследовании конкретных задач математической физики.

Показать весь текст

Список литературы

  1. , В. Н. Метод прямых для задачи сопряжения параболического и гиперболического уравнений / В. Н. Абрашин // Дифференц. уравнения. — 1970. — Т. 6, № 5. — С. 924−928.
  2. , А. А. Об одном классе систем уравнений гиперболического типа / А. А. Андреев // Дифференц. уравнения. Сб. трудов матем. кафедр пединст-ов РСФСР. 1971. — Т. 16, № 1. — С. 3−5.
  3. , А. А. О методе Римана для одной системы уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками / А. А. Андреев // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1981.- С. 13−16.
  4. , Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Вейтмен, А. Эр-дейи. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с.
  5. , X. Г. Об одной краевой задаче для смешанных параболо-гиперболических уравнений с характеристической линией изменения типа / X. Г. Бжихатлов // Дифференц. уравнения. — 1977. — Т. 13, № 1, — С. 10−16.
  6. , X. Г. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / X. Г. Бжихатлов, А. М. Нахушев // ДАН СССР.- 1968, — Т. 183, № 2, — С. 261−264.
  7. , А. В. К проблеме уравнений смешанного типа / А. В. Бицад-зе // Труды Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова.— 1953.— Т. 41.- С. 3−57.
  8. , А. В. Уравнения смешанного типа / А. В. Бицадзе. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. — 164 с.
  9. , А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе. — М.: Наука, 1981. — 448 с.
  10. , В. Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений / В. Н. Врагов // Дифференц. уравнения. — 1972. — Т. 8, № 1.-С. 7−16.
  11. , С. И. Об одной задаче на сопряжение уравнений параболического и гиперболического типов / С. И. Гайдук, А. В. Иванов // ДАН БССР. — 1964. Т. 8, № 9. — С. 560−563.
  12. , Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1967. — 567 с.
  13. , Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. — М.: Наука, 1977. — 640 с.
  14. , С. X. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной / С. X. Геккиева // Докл. Адыгейской (Черкесской) Межд. АН— 2001. — Т. 5, № 2, — С. 18−22.
  15. Гельфанд, И, М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений / И. М. Гельфанд // УМН. 1959. — Т. 14. Вып. 3(87).- С. 3−19.
  16. , А. А. Операторы с первой производной по «времени"и неловаль-ные граничные условия / А. А. Дезин // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1967. — Т. 31, № 1. С. 61−86.
  17. , М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М. М. Джрбашян.— М.: Наука, 1966.— 671 с.
  18. , В. А. Аналог задачи Трикоми для смешанных параболо-гипербо-лических уравнений с нехарактеристической линией изменения типа / В. А. Елеев // Дифференц. уравнения. — 1977. — Т. 13, № 1. — С. 56−63.
  19. , В. А. О некоторых краевых задачах со смещением для одного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / В. А. Елеев // Дифференц. уравнения.- 1978. — Т. 14, № 1, — С. 22−29.
  20. , С. В. Нелокальная задача для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области / С. В. Ефимова // Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2005. — Т. 34. — С. 194−196.
  21. , В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В. И. Жегалов // Уч. зап. Казанск. ун-та. — 1962. — Т. 122, № 3. С. 3−16.
  22. , Л. А. О краевой задаче для модельного уравнения гипербола-параболического типа / Л. А. Золина // ЖВМ и МФ.~ 1966.— Т. 6, № 6. С. 991−1001.
  23. Исломов, Б, Аналоги задачи Трикоми для уравнения смешанного пара-боло-гиперболического типа с двумя линиями и различным порядком вырождения / Б. Исломов // Дифференц. уравнения.— 1991.— Т. 27, № 6. С. 1007−1014.
  24. , Т. Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения / Т. Ш. Кальме-нов // Дифференц. уравнения. — 1971, — Т. 7, № 1. — С. 178−181.
  25. , Т. Ш. Критерий непрерывности решения задачи Гурса для одного вырождающегося уравнения / Т. Ш. Кальменов // Дифференц. уравнения. 1972. — Т. 8, № 1. — С. 41−54.
  26. , Т. Ш. О задаче Дарбу для одного вырождающегося уравнения / Т. Ш. Кальменов // Дифференц. уравнения. — 1974. — Т. 10, № 1. — С. 59−68.
  27. , Н. Ю. О разрешимости в классе Ь^ задачи Трикоми для одного параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью / Н. Ю. Капустин // Дифференц. уравнения. — 1986. — Т. 22, № 1.- С. 60−66.
  28. , Н. Ю. К теории обобщенного параболо-гиперболического уравнения теплопроводности / Н. Ю. Капустин // Дифференц. уравнения. 1996. — Т. 32, № 3. — С. 375−383.
  29. , К. И. О задаче Коши для уравнения гиперболического типа, вырождающегося на начальной плоскости / К. И. Карапетян // ДАН СССР.— 1956.- Т. 106, № 6, — С. 963−966.
  30. , А. А. Задача со смещением для уравнения параболо-гиперболического типа / А. А. Керефов, А, О. Желдашева // Труды Всероссийской конференции. — Стерлитамак: 2004, — С. 155−158.
  31. , А. А. Интегральные уравнения: курс- лекций / А. А. Килбас.— Мн.: БГУ, 2005.- 143 с.
  32. , А. А. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения / А. А. Килбас, О. А. Репин // Дифференц. уравнения. — 1998.— Т. 34, № 6. С. 799−805.
  33. , А. А. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с дробными производными в краевом условии / А. А. Килбас, О. А. Репин, М. Сайго // Неклассич. ур-я мат. физики. — Новосибирск: Изд-во Института математики, 2002. — С. 88−95.
  34. , С. К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения sign уутихх + иуу = 0 / С. К. Кумыкова // Дифференц. уравнения.— 1976.-Т. 12, № 1.-С. 79−88.
  35. , С. К. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения в характеристическом двуугольнике / С. К. Кумыкова // Дифференц. уравнения.-— 1979, — Т. 15, № 1.— С. 79−91.
  36. , С. К. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения / С. К. Кумыкова // Дифференц. уравнения.— 1981.— Т. 17, № 1.— С. 81−90.
  37. , M. Е. К постановке краевых задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа / M. Е. Лернер // Дифференц. уравнения, — 1998, — Т. 34, № 10.— С. 1430−1432.
  38. , А. В, Применение методов термодинамики необратимых процессов с исследованием тепло и массообмена / А. В. Лыков // Инж.-физ. жури. — 1965. — Т. 9, № 3. — С. 287−304.
  39. Минь-ю, Ч. О задаче Коши для одного класса гиперболических уравнений с начальными данными на линии параболического вырождения / Ч. Минь-ю // Acta Mathem., Sinica.— 1958.— Vol. 8, no. 4, —Pp. 521−530.
  40. , H. И. Сингулярные интегральные уравнения / H. И. Му-схелишвили. — М.: Наука, 1968.— 511 с.
  41. , А. М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения / А. М. Нахушев // ДАН СССР. — 1969. — Т. 187, № 4. С. 736−739.
  42. , А. М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / А. М. Нахушев // Диффе-ренц. уравнения. — 1969. — Т. 5, № 1, — С. 44−59.
  43. , А. М. О задаче Дарбу для гиперболических уравнений / А. М. Нахушев // ДАН СССР. 1970. — Т. 195, № 4. — С. 776−779.
  44. , А. М. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений / А. М. Нахушев // Дифференц. уравнения.— 1971.— Т. 7, № 1. — С. 49−56.
  45. , А. М. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения вольтерра третьего рода / А. М. Нахушев // Дифференц. уравнения. — 1974. —Т. 10, № 1, — С. 100−111.
  46. , А. М, К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа / А. М. Нахушев // Дифференц. уравнения. — 1978.— Т. 14, № 1.— С. 66−73.
  47. , А. М. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса / А. М. Нахушев // Дифференц. уравнения.— 1980.— Т. 16, № 9.— С. 1643−1649.
  48. , А. М. Нагруженные уравнения и их приложения / А. М. Нахушев // Дифференц. уравнения. — 1983.— Т. 19, № 1.— С. 86−94.
  49. , А. М. Уравнения математической биологии / А. М. Нахушев.—М.: Высш. шк., 1995. —301 с.
  50. , А. М. Элементы дробного исчисления и их применение / А. М. Нахушев. — Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2000. — 299 с.
  51. , А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных / А. М. Нахушев, — М.: Наука, 2006, — 287 с.
  52. , В. А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов / В. А. Нахушева. — М.: Наука, 2006. — 173 с.
  53. Нахушева, 3. А. Нелокальная задача с оператором Эрдейи-Кобера для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / 3. А. Нахушева // Докл. Адыгской (Черкесской) Межд. АН, — 2001.- Т. 5, № 2, — С. 44−48.
  54. , Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерприта-ция / Р. Р. Нигматуллин // Теоретич. и матем. физика. — 1992. — Т. 90, № 3. С. 354−368.
  55. , А. В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка / А. В. Псху // Докл. Адыгской (Черкесской) Межд. АН. — 2000. Т. 5, № 1. — С. 45−53.
  56. , А. В. Краевые задачи для диффференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка / А. В. Псху. — Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2005. — 186 с.
  57. , О. А. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа / О. А. Репин // Дифференц. уравнения.— 1992. — Т. 28, № 1, — С. 173−176.
  58. , О. А. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения / О, А. Репин // Дифференц. уравнения.— 1998. —Т. 34, К2 1.— С. 110−113.
  59. , О. А. Нелокальная краевая задача для уравнения Бицадзе-Лыко-ва. вырождающегося внутри области / О. А. Репин // Неклассические уравнения математической физики. — Новосибирск: Изд-во Института математики, 2000. — С. 5−13.
  60. , О. А. О задаче с операторами М. Сайго на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения / О. А. Репин // Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2006. — Т. 43. — С. 10−14.
  61. , К. В. К теории уравнений смешанного параболо-гиперболиче-ского типа со спектральным параметром / К. Б. Сабитов // Дифференц. уравнения.— 1989. — Т. 25, № 1. — С. 117−126.
  62. , А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / А. А. Самарский // Дифференц. уравнения. — 1980. — Т. 16, № П. С. 1925−1935.
  63. , С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
  64. , Л. И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой / Л. И. Сербина. — Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2002. 144 с.
  65. , М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов.— М.: Высш.шк., 1985.— 304 с.
  66. , А. Краевые задачи для вырождающегося параболо-гиперболиче-ского уравнения / А. Сопуев, Т. Д. Джураев // Дифференц. уравнения. — 1989, — Т. 25, № 6, — С. 1009−1015.
  67. , В. А. Основные задачи математической физики / В. А. Стек-лов.— 2-е изд. М.: Наука, 1983, — 1432 с.
  68. , Г. М. Задача о сопряжении двух уравнений / Г. М. Стручи-на // Инженерно-физический журнал. — 1961. — Т. 4, № 11. — С. 99−104.
  69. , Ф. О линейных уравнениях в частных прозводных второго порядка смешанного типа / Ф. Трикоми. — М.-Л.: Гостехиздат, 1947.— 192 с.
  70. , Я. С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях / Я. С. Уфлянд // Инженерно-физический журнал. — 1964,—Т. 7, № 1.-С. 89−92.
  71. , Ф. И. Избранные труды по газовой динамике / Ф. И. Франкль. — M.: Наука, 1973. — 711 с.
  72. , Р. Н. Краевая задача для параболо-гиперболичческого уравнения с неизвестной линией изменения типа / Р. Н. Хубиев // Дифференц. уравнения.— 1979. — Т. 15, № 2. — С. 373−375.
  73. Agmon, S. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic-hyperbolic type / S. Agmon, L. Niren-berg, M. N. Protter // Commun. Pure Appl Math. — 1953. — Vol. 6, no. 4. — Pp. 455−470.
  74. Bassanini, P. Contrazioni multi, sistemi giperbolic, e problema del laser /
  75. P. Bassanini, M, Calaverni // Alti semin. mat, e fis. Univ. Modem. —1982. — Vol. 31, no. l.-Pp. 32−50.
  76. Gellerstedt, S. Su rune equation lineaire aux derives partielles de type mixte / S. Gellerstedt // Archiv Mat., Astr. Och. Fisik— 1937. — Vol. 25A, 29.— Pp. 1−23.
  77. Kilbas, A. A. Solution in closed form of boundary value problem for degenerate equation of hyperbolic type / A. A. Kilbas, O. A. Repin, M. Saigo // Kyungpook Math. Journal— 1996, — Vol. 36, no. 2. — Pp. 261−273.
  78. Kilbas, A. A. Nonlocal problem for the hyperbolic equation with fractional derivatives in the boundary condition / A. A. Kilbas, O. A. Repin, M. Saigo // Fukuoka University Science Reports. — 2003.— Vol. 33.— Pp. 1−8.
  79. Saigo, M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu. Univ. — 1978. — Vol. 11, no. 2. — Pp. 135−143.
  80. Saigo, M. A certain boundary value problem for the Euler-Poisson-Darboux equation / M. Saigo // Math. Japan. — 1979. — Vol. 24, no. 4. — Pp. 377−385.
  81. Saigo, M. On the Holder continuity of the generalixed fractional integrals and derivatives / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu. Univ. — 1980. — Vol. 12, no. 2. — Pp. 55−62.
  82. Srivastava, H. M. Multiplication of fractional calculus operators and boundary value problems involving the Euler-Darboux equation / H. M. Srivastava, M. Saigo // J. Math. Anal. Appl. — 1987. — Vol. 121, — Pp. 325−369.
  83. Yamada, A. On a mixed problem for the m’kendrick-von toerster equation /
  84. А. Уатаёа, Н, ТипакоэЫ // ЯчагЬ, Арр1 МоЖ — 1982. — Уо1. 40, по. 2, — Рр. 165−192.
  85. , Е. Ю. Существенно нелокальные краевые задачи для систем уравнений влагопереноса в специальном случае / Е. Ю. Арланова // Тезисы докладов XXXI Самарской областной студенческой конференции.- Т. 1, — Самара: СамГУ, 2005.- С. 81.
  86. , Е. Ю. Нелокальные краевые задачи для уравнения влагопере-иоса / Е. Ю. Арланова // Современные методы физико-математических наук: Труды международной конференции. — Т. 1. — Орел: ОГУ, 2006. — С. 9−12.
  87. , Е. Ю. Нелокальная задача с дробными производными дляодного гиперболического уравнения / Е. Ю, Арланова // Вестник Са-марск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2007. — Т. 2 (15).— С. 33−36.
Заполнить форму текущей работой

Сдать сессию!