Изучение показательной и логарифмической функции в школьном курсе математики

Содержание Введение

1. Теоретические основы изучения показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики

1.1 Анализ учебников

1.2 Основные понятия, связанные с понятиями показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики

1.3 Анализ результатов ЕГЭ 2012;2013 гг.

2. Решение задач с использованием логарифмической и показательной функции в школьном курсе математики

2.1 Обзор задач и упражнений на решение показательной логарифмической функций в школьном курсе математики

2.2 Методика решения типовых задач, связанных с показательной и логарифмической функциями, в школьном курсе математики

2.3 Подбор задач на нахождение и использование показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики Заключение Список использованных источников Введение Изучение различных преобразований выражений и формул занимает значительную часть учебного времени в курсе школьной математики. Простые преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся уже в начальной школе и в IV-V классах. Но основная нагрузка по формированию умений и навыков выполнения преобразований приходится на школьный курс алгебры. Связано это как с быстрым увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их доказательству и выяснению условий применимости, с выделением и изучением понятий, преобразований. Данная исследовательская работа в области алгебры и начала анализа на тему «Изучение показательной и логарифмической функции в школьном курсе математики» .

Большой вклад в разработку данной темы внес математик и механик — Леонард Эйлер. Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером. В книге «Введение в анализ бесконечных» Эйлер дал современные определения показательной и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Неслучайно то, что показательная функция играет важную роль в математике, её используют как математическую модель для большого класса процессов в области физики и экономики. Также в нахождении закономерностей этих процессов используется логарифмическая функция. Без изучения этих функций школьный курс математики имел бы меньшую значимость не только в математическом образовании, но и в формировании мышления учащихся, в осуществлении связи обучения математики с жизнью.

Первый раздел данной работы описывает основы изучения показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики, так же включает анализ учебников и результатов ЕГЭ 2012;2013 гг. по исследуемой теме, рассматривается непосредственно сама показательная и логарифмическая функции.

Второй раздел включает решение примеров и задач с использованием показательной и логарифмической функций.

Объект исследования: процесс изучения показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики.

Предмет исследования: содержание и методы изучения показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики.

Цель исследования: проанализировать содержание и методы обучения, систематизировать задачи по теме материала «Показательная и логарифмическая функции» .

На основании объекта и цели исследования следует рассмотреть следующие задачи:

1. провести теоретический анализ школьных учебников, интернет-источников, педагогической и методической литературы по теме исследования;

2. рассмотреть основные понятия, утверждения, типовые задачи, связанные с показательной и логарифмической функциями в школьном курсе математики;

3. рассмотреть различные методики решения типовых задач;

4. выполнить подбор и систематизацию задач на нахождение и использование показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики.

Теоретическая значимость работы заключается в получении знаний, способствующих изучению различных сторон математических понятий показательной и логарифмической функций.

Практическая значимость исследования определяется тем, что учебные материалы, направлены на повышение уровня знаний понятий при изучении темы «Показательная и логарифмическая функции» .

1. Теоретические основы изучения показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики

1.1 Анализ учебников Проанализируем учебники по Алгебре и начала математического анализа таких авторов, как Колмогоров А. Н. и Мордкович А.Г.

В учебнике для 10−11 классов 2008 года общеобразовательных учреждений под редакцией А. Н. Колмогорова, авторы которого: А. Н. Колмогорова, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбург, изучение темы «Показательная и логарифмическая функции» начинается в 11 классе.

Учебник Колмогорова А. Н. поможет старшеклассникам, подготовится к экзаменам и получит основу знаний для поступления в ВУЗ. Учебник написан на высоком научном уровне, основные теоретические положения иллюстрируются конкретными примерами. Каждый пункт книги содержит образцы решения типичных задач, соответствующих обязательному уровню подготовки по данной теме, и более трудные задачи для учащихся, хорошо и отлично усвоивших пройденный материал. Вопросы и задачи на повторение, которыми заканчивается четвертая глава учебника, позволят учащимся проконтролировать свои знания и умения, а также могут быть использованы учителем при проведении итогового опроса или зачета. Упражнения для повторения всего темы помещены в главе «Задачи на повторение», а задачи повышенной трудности содержит заключительная глава [5, с. 1].

Анализ содержания учебника для 10−11 классов 2009 года общеобразовательных учреждений (базовый уровень) А. Г. Мордковича показал, что материал дает цельное и полное представление о показательной и логарифмической функции. Отличительные особенности учебника — более доступное для школьников изложение материала по сравнению с традиционными учебными пособиями, наличие большого числа примеров с подробными решениями. Параграфы имеют повествовательный стиль, легкий и доступный для всех учащихся, хорошо и полно раскрывается теория. Построение всего курса осуществляется на основе приоритетности функционально-графической линии. Данный учебник отвечает требованиям обязательного минимума содержания образования [6, с. 1].

1.2 Основные понятия, связанные с понятиями показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики Функцию вида

где и 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции

:

:

1) =

2)

3) возрастает

4) непрерывна;

при 0 < < 1:

1) =

2)

3) убывает;

4) непрерывна.

График функции

где > 1 изображен на рисунке 1.

Рисунок 1 График функции, где > 1

График функции, где изображен на рисунке 2.

Рисунок 2 График функции, где

Кривую, изображенную на рисунке 1 или 2, называют экспонентой. Впрочем, экспонентой называют и саму показательную функцию. Так что термин «экспонента» используется в двух смыслах: и для наименования показательной функции, и для названия графика показательной функции. Обратите внимание на геометрическую особенность графика показательной функции: ось х является горизонтальной асимптотой графика функции при, если и при, если .

Школьники часто путают термины: «степенная функция» и «показательная функция». Сравните:

, — это примеры степенных функций.

— это примеры показательных функций.

Вообще математика показательный логарифмический функция

где — конкретное число, — степенная функция (аргумент х содержится в основании степени);

где — конкретное число (положительное и отличное от 1), называется показательной функцией (аргумент х содержится в показателе степени).

А такую «экзотическую» функцию, как, не считают ни показательной, ни степенной (ее иногда называют показательно-степенной).

Основные свойства показательной функции

1. Если, то равенство справедливо тогда и только тогда, когда

2. Если, то неравенство справедливо тогда и только тогда, когда (рис. 3); неравенство справедливо тогда и только тогда, когда .

Рисунок 3 График функции

3. Если, то равенство справедливо тогда и только тогда, когда

4. Если, то неравенство справедливо тогда и только тогда, когда (рис. 4); неравенство справедливо тогда и только тогда, когда .

Рисунок 4 График функции

Показательными уравнениями называют уравнения вида, где — положительное число, отличное от 1, и уравнения сводящиеся к этому виду.

Основные свойства:

1. Показательное уравнение (где ,) равносильно уравнению

2. Показательными неравенствами называют неравенства вида, где, а — положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

3. Если, то показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла: Если, то показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла: f

Логарифмом положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число .

Свойства логарифма:

1)

2)

3)

)

Логарифм по основанию обычно называют десятичным логарифмом и обозначают как .

Функция её свойства и график.

График функции симметричен графику функции относительно прямой

В соответствии с рисунком 5 схематически изображены графики функций и в случае, когда .

Рисунок 5 График функции

Свойства функции ,

1) =

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает на (0; +);

4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7)

8) выпукла вверх.

На рисунке 6 схематически изображены графики функций и в случае, когда

Рисунок 6 График функции

Свойства функции ,

1)

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) убывает на (0; +);

4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7)

8) выпукла вниз.

Отметим, что ось является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда, и в случае, когда 0 < <1.

Свойства логарифмов:

1)

2)

3)

4) ,

5)

6) ,

Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Логарифмическими уравнениями называются уравнения вида

положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду. Если, то логарифмическое уравнение равносильно уравнению

Логарифмическими неравенствами называются неравенства вида где положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Если и, то: при логарифмическое неравенство равносильно неравенству того же смысла: при логарифмическое неравенство

равносильно неравенству противоположного смысла:

Перейдем к новому основанию логарифма. Если положительные числа, причем .

Если положительные и отличные от 1 числа, то справедливо Если положительные числа, причем то для любого числа справедливо Дифференцирование показательной и логарифмической функций.

Число. Функция, её свойства, график, дифференцирование.

Рассмотрим показательную функцию, где. Для различных оснований получаем различные графики, но можно заметить, что все они проходят через точку, все они имеют горизонтальную асимптоту при, все они обращены выпуклостью вниз и, наконец, все они имеют касательные во всех своих точках.

Проведем для примера касательную к графику функции в точке, рассмотренную на рисунке 7.

Рисунок 7 Касательная к графику функции

Если сделать аккуратные построения и измерения, то можно убедиться в том, что эта касательная образует с осью угол 35°. Теперь проведем касательную к графику функции тоже в точке, которая изображена на рисунке 8.

Рисунок 8 Касательная к графику функции

Здесь угол между касательной и осью х будет больше 48°. А для показательной функции в аналогичной ситуации получаем угол примерно 66,5°, изображенный на рисунке 9.

Рисунок 9 График функции

Итак, если основание, а показательной функции постепенно увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°. Логично предположить, что существует основание, для которого соответствующий угол равен 45°. Это основание должно быть заключено между числами 2 и 3, поскольку для функции интересующий нас угол равен 35°, что меньше, чем 45°, а для функции он равен 48°, что уже немного больше, чем 45°. Доказано, что интересующее нас основание действительно существует, его принято обозначать буквой. Установлено, что число — иррациональное, то есть представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь:

= … ;

на практике обычно полагают, что

Графиком функции изображен на рисунке 10. Это экспонента, отличающаяся от других экспонент (график показательных функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке и осью абсцисс равен 45.

Рисунок 10 Касательная к графику функции

Свойства функции :

1)

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает;

4) не ограничена сверху, ограничена снизу;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7)

8) выпукла вниз.

В курсе математического анализа доказано, что функция имеет производную в любой точке, причем Натуральные логарифмы. Функция, её свойства, график, дифференцирование Если основанием логарифма служит число, то говорят, что задан натуральный логарифм.

Мы знаем, что график логарифмической функции симметричен графику показательной функции относительно прямой. Значит, и график функции симметричен графику функции относительно прямой, изображенный на рисунке 11. Это экспонента, отличающаяся от других экспонент (графиков логарифмических функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке и осью абсцисс равен 45°.

Рисунок 11 Симметрия графиков Свойства функции :

1)

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает на (

4) не ограничена ни сверху, ни снизу;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

8) выпукла вверх;

9) дифференцируема.

В курсе математического анализа доказано, что для любого значения справедлива формула дифференцирования Формулы дифференцирования любой показательной и любой логарифмической функции:

1) ()' = ;

2) ()'.

1.3 Анализ результатов ЕГЭ 2012;2013 гг.

В 2012 году экзамен по математике сдавали 25 133 (без учета выпускников прошлых лет). Не преодолели порог успешности 1168 человек, что составляет 4,6% от общей численности выпускников, это на 0,8% больше чем в прошлом году в нашем крае, что объясняется тем, что в 2012 году произошло увеличение с 4 до 5 минимального числа заданий, которые необходимо верно выполнить для достижения порога успешности. Процент учащихся, изображенный на рисунке 1, в крае не преодолевших порог успешности в 2012 г. на 2,9% меньше чем в среднем по Росси (7,5%). В 2012 году около половины школ края (458 из 952) сдали ЕГЭ по математике без двоек.

Рисунок 1 Распределение неудовлетворительных оценок на ЕГЭ-2012 по математике в территориях края Самый большой прирост среднего балла в этом году продемонстрировали выпускники Отрадненского района и заняли 4-е место, а еще в 2009 году этот район занимал последнее место в рейтинге территорий края.

Значительно вырос средний бал в Северском и Успенском районах. И не смотря на то, что результаты этого года в данных территориях все ещё ниже среднего по краю, для Северского и Успенского районов налицо положительная динамика результатов работы. Это свидетельствует об организованной системе мер по повышению качества обученности.

В тоже время, не смотря на то, что единая технология подготовки к ЕГЭ департаментом образования и науки совместно с ККИДППО распространялась на весь край, следует отметить территории, которые подготовили своих учащихся к ЕГЭ не качественно.

Сигналом, что в территории есть проблемы с подготовкой к ЕГЭ по математике были результаты краевых диагностических работ (КДР). После детального анализа результатов КДР территориям оказывалась методическая помощь по заказу территории. Однако результаты КДР в Выселковском, Гулькевическом, и Кущевском районах не предвещали низких результатов на ЕГЭ, они были средними или выше среднего по краю. Это свидетельствует либо о не правильной организации проведения работ, либо о фальсификации их результатов.

В 2012 году на ЕГЭ по математике в нашем крае было использовано 18 вариантов, в таблице 1 приведены средние значения процента выполнения каждого задания по исследуемой теме.

Таблица 1Средний процент выполнения заданий

Наилучшие результаты по выполнению заданий первой части учащиеся нашего края показали при выполнении задания В5. Хуже всего выпускники 2012 года справились с выполнением заданий В7, это можно увидеть на рисунке 2. При выполнении заданий повышенного и высокого уровне сложности выпускники 2012 года показали лучше результат по заданию С3 и хуже справились с решением задания С5. На рисунке 3 приведен средний балл выполнения заданий 2ой части.

Рисунок 2 Процент выполнения заданий 1-й части ЕГЭ-2012 по математике Рисунок 3 Средний балл выполнения заданий 2-й части ЕГЭ-2012 по математике Все варианты КИМ включали задание на тождественное преобразование выражений, содержащих степени и логарифмы (В7). В каждом варианте ЕГЭ-2012 содержалось только одно задание непосредственно на преобразование выражений. При выполнении этого задания учащимся необходимо было применить основное тригонометрическое тождество с учетом знаков тригонометрических функций по четвертям. Средний процент выполнения этого задания оставил 58%. Следует отметить, что в 2011 году с таким же заданием в среднем справилось 55% выпускников края.

При решении других заданий первой части преобразований выражений не требовалось. Однако элементом решения задачи С3 и С5 было преобразование логарифмических, показательных и степенных выражений. В вариантах КИМ-2012 из всех видов уравнений, рассматриваемых в школьном курсе математики, в первой части работы были представлены только логарифмические уравнения (задания В5). Средний процент выполнения этих заданий составил 84,3%. При этом задания «Найдите корень уравнения наши выпускники выполнили на 73%, задание «Найдите корень уравнения на 91%. Идея решения этих уравнений совершенно одинакова, разница лишь в проводимых вычислениях.

Теперь сравним результаты выполнения заданий В5, В7, С3, С5, приведенные в таблицах 2 и 3.

Таблица 2 Результаты выполнения учащимися заданий В5, В7 КИМов ЕГЭ за два года Таблица 3 Результаты выполнения учащимися заданий С3, С5 КИМов ЕГЭ за два года

Задачи второй части остаются по-прежнему очень сложными для выпускников, о чем свидетельствуют статистические данные. При подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ по математике целесообразно познакомить их с опубликованными вариантами работ, критериями оценивания заданий С3 и С5, а так же вести исчерпывающий разбор типичных ошибок, выявлять их природу и происхождение, так как без этого нельзя обеспечить эффективные средства исправления и предупреждения ошибок в будущем.

2. Решение задач с использованием логарифмической и показательной функции в школьном курсе математики

2.1 Обзор задач и упражнений на решение показательной логарифмической функций в школьном курсе математики

1. Решите уравнения и неравенства:

1) ;

Ответ: [1, с. 239].

2) ;

Ответ: [1, с. 240].

3)

Ответ: [1, с. 243].

4)

Ответ: [1, с. 244].

2. Решите уравнение Ответ: [1, с. 245].

3. Решите систему уравнений Ответ: [1, с. 246].

4. Решите неравенство Ответ: [1, с. 248].

5. Вычислите:

а) ;

Ответ: [1, с. 250].

б) ;

Ответ: [1, с. 251].

в)

Ответ: [1, с. 251].

6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке:

а)

Ответ: [1, с. 254].

;

Ответ: [1, с. 254].

7. Постройте график функции Ответ: смотрите рисунок 1 [1, с. 256].

Рисунок 1- График функций

8. Известно, что положительные числа связаны соотношением. Выразить () через логарифмы по основанию чисел

Ответ:

[1, с. 259].

9. Решите уравнение Ответ: [1, с. 264].

10. Решите уравнение

Ответ: [1, с. 265].

11. Решите неравенство

Ответ: [1, с. 269].

12. Провести касательную к графику функции в точке ;

Ответ: [1, с. 272].

13. Вычислить значение производной функции в точке

Ответ: [1, с. 278].

14. Исследовать на экстремум функцию

;

Ответ: [1, с. 279].

2.2 Методика решения типовых задач, связанных с показательной и логарифмической функциями, в школьном курсе математики

1. Решите уравнение

.

Решение. Построив в одной системе координат графики функций, замечаем, что они имеют одну общую точку Значит, уравнение имеет единственный корень [1, с. 256].

2. Решите уравнение

[10, с. 1].

Решение. Здесь есть возможность и левую и правую части уравнения представить в виде степени с основанием. В самом деле:

1)

2)

3)

4)

Таким образом, заданное уравнение мы преобразовали к виду Далее получаем:

3. Решите неравенство

[10, с. 4].

Решение. Заданное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла Найдем корни квадратного трехчлена

:

Значит, неравенство

4. Вычислить [1, с. 260].

Решение. Пусть Тогда, по определению логарифма,. Решая это показательное уравнение, последовательно находим:

5. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке

[10, с. 5].

Решение. Функция непрерывная и убывающая, поскольку основание этой логарифмической функции, т. е. число, меньше Следовательно, своих наибольшего и наименьшего значений функция достигает на концах заданного отрезка

6. Вычислите [10, с. 6].

Решение. Поработаем с показателем степени:

Теперь заданное числовое выражение мы можем записать в виде .

Далее находим:

.

Остается вспомнить, что Значит,

7. Решить систему уравнений Решение. Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:

Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду:

Решим полученную систему уравнений Подставив вместо во второе уравнение системы, получим:

Из соотношения находим соотношение:

Осталось сделать проверку найденных пар с помощью условий, которые задают область допустимых значений переменных эти условия мы находим, анализируя исходную систему уравнений. Пара (удовлетворяет условиям, а пара не удовлетворяет.

Ответ: (

8. Решите систему неравенств

.

Решение.

Неравенство запишем в виде

(

Относительно неравенство имеет вид:, откуда получаем:

(,

Значит,

Второе неравенство системы определено при то есть при и При допустимых значениях значений переменной получаем:

.

С учетом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы:

Сравним и. Так как, то

следовательно,

.

Ответ:.

2.3 Подбор задач на нахождение и использование показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики

1. Решите неравенства:

а) [10, с. 6]

б) [10, с. 3].

2. Решите уравнения:

а) [9, с. 5].

б)

найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [10, с. 2].

3. Найдите корни уравнений:

а) [10, с. 8].

б) [10, с. 7].

4. Решите системы неравенств:

а)

б) .

) [9, с. 1].

Подведем некоторые итоги. Можно выделить три основных метода решения примеров и задач:

1) Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.

2) Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение равносильно уравнению, где — положительное число, отличное от 1.

3) Метод введения новой переменной.

Заключение

В данной курсовой работе по теме «Логарифмическая и показательная функции» было рассмотрено введение данного материала в школьный курс алгебры и начала анализа. Логарифмическая и показательная функции часто используются для решения различных задач. В ЕГЭ на исследуемую тему отведено четыре задания, два из которых из первой части и два из второй. Задания бывают смешанного типа, где знание показательной и логарифмической функции поможет решить их. Показательная функция является математической моделью для большого класса процессов в области физики и экономики. Поэтому изучение данной темы играет важную роль в школьном курсе математики для школьников.

Следует отметить, что была изучена научно методическая литература таких авторов, как Колмогорова А. Н. и Мордковича А. Г., способствующая усвоению материала темы «Логарифмическая и показательная функции». Приведены примеры смешанного типа. Подробно разобраны типовые задачи по теме материала и выделены три основных метода решения:

1) функционально-графический метод;

2) метод уравнения показателей;

3) метод введения новой переменной.

В процессе исследования:

— Проведен сравнительный анализ теоретических основ изучения показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики;

— Проанализирован результаты ЕГЭ 2012;2013 гг. по данной теме;

— Приведены примеры и задачи, способствующие изучению материала темы «Логарифмическая и показательная функции» .

Подведя итоги можно сказать, что поставленные задачи решены, цель исследования достигнута.

Список использованных источников

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа: учебник для учащихся 1011 классов. — 10-е изд. — М., 2009. С. 232 273.

2. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. Алгебра и начала математического анализа: учебник для 1011 классов. 17-е изд. М., 2008. С. 201−261.

3. Башмаков М. И. Алгебра и начала математического анализа: учебник для учащихся 1011 классов. — 2-е изд. — М., 1992. С. 185 303.

4. Образовательный сайт SLOWO. ws, 2006;2013.

URL: http://slovo.ws/urok/algebra/10/014/001.html (16.03.2014).

5. Образовательный сайт NASHOL.COM, 2007;2014.

URL:http://nashol.com/2 012 061 365 602/algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10−11-klass-kolmogorov-a-n-abramov-u-p-2008.html (17.03.2014).

6. Образовательный сайт NASHOL.COM, 2007;2014.

URL:http://nashol.com/20 100 414 357/algebra-i-nachala-analiza-10−11-klassi-uchebnik-mordkovich-a-g-2001.html (17.03.2014).

7 Краснодарский краевой институт дополнительного профессионального педагогического образования, 2007;2014.

URL: http://kkidppo.ru/metodicheskiy-analiz-ege-2012 (02.04.14).

8. Краснодарский краевой институт дополнительного профессионального педагогического образования, 2007;2014.

URL:http://kkidppo.ru/metodicheskiy-analiz-ege-2013 (02.04.14).

9. Образовательный сайт YOUR TUTOR репетитор математики и физики / статья Селиверстова Сергея Валерьевича, 2011;2013.

URL: http://yourtutor.info/решение-систем-неравенств-репетитор

10. Федеральный институт педагогических измерений / Открытый банк заданий ЕГЭ / Математика, 2004;2014.

URL: http://www.fipi.ru/os11/xmodules/qprint/afrms.php?proj= (31.03.14).

11. Федеральный институт педагогических измерений, 2004;2014.

URL: http://www.fipi.ru/view/sections/92/docs/ (31.03.14).

12. Столяр А. А. Методы обучения математике: пособие для учителей средней школы, 1966.

13. Стефанова Н. Л., Подходова Н. С. Методика и технология обучения математике. Курс лекции: пособие для вузов. — М., 2005.