Применение теории графов к ортогональным разложениям простых алгебр Ли

Понятие ортогонального разложения простой конечномерной алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем к нулевой характеристики было введено в [1]. Напомним, что ортогональным разложением называется представление пространства алгебры Ли? в виде прямой сумме попарно — ортогональных подалгебр Картана:? = Ш^/^К,-, причем К (!К{, СК{) = 0 при i ф ], где К — форма Киллинга. Ортогональные разложения изучаются с точности до действия автоморфизмов из Лг/£(£,). В работах [1], [2], [3], [4], [5] Кострикиных и Уфнаровского были построены ортогональные разложения для всех классических алгебр за исключением типов Апи Ст, где п — не является степенью простого числа, а т — степенью двойки. На сегодняшний день известны только так называемые 3 — разложения, построенные в уже упомянутых работах.

Далее, вместе с ортогональным разложением 2) изучались группы автоморфизмов АиЬ{Ъ) — автоморфизмы алгебры Ли, сохраняющие ортогональные разложение Ъ. Далее, вместо понятия ортогонального разложения вводились более слабые формулировки:

• Неприводимое ортогональное разложение — ортогональное разложение, группа автоморфизмов которого действует на пространстве алгебры Ли & неприводимо.

• Транзитивное ортогональное разложение — ортогональное разложение, группа автоморфизмов которого действует на множестве картановских подалгебр, входящих в него, транзитивно.

Кострикин А.И. и Фам Хуу Тьеп в [6], [7] с помощью классификации конечных простых групп классифицировали все неприводимые ортогональные разложения. В более поздней работе Иванов в [8] существенно ослабил требования о неприводимости.

В данной работе изучается связь между ортогональными разложениями алгебры Ли типа Л, представлениями алгебр Гекке некоторого графа, оператором Лапласа на графе.

Первая глава является вводной, целью которой является сформулировать основные определения и известные результаты. Так в частности, вводятся основные определения: ортогональных разложений, ортогональных пар, алгебр Гекке произвольного графа.

Определение. Алгеброй Гекке назовем алгебру над следующими порождающими и соотношениями: множество порождающих Н (Г) — Т{, соответствующие каждой вершины графа Г и соотношениями: для каждого Т{ для каждой пары вершин г, У, соединенных га,-у — 2 ребрами: Т{Г]Т{. = ТуГ{Ту.т{) элементов с каждой стороны.

Формулируются основные предложения о связи ортогональных пар, разложений и так называемых «подходящих» матрицах. Далее формулируется предложение Иванова об ортогональных разложениях для конечномерной ассоциативной простой алгебры Мп (к), описанное в [9]. С помощью которой А. И. Бондалом была показана связь ортогональных пар, разложений и представлений псевдоотражениями алгебры Гекке фиксированного графа, описанная в монографии Кострикина и Тьепа [10].

Далее, чтобы уточнить эту связь, рассмотрим каким морфизмам графов соответствуют гомоморфизмы алгебр Гекке. А именно, разобьем множество вершин графа Г на подмножества VI,., V*, так чтобы для всех вершин из разных подмножеств выполнялось условие:

• либо они все соединяются ребрами,.

• либо ни одна пара вершин не соединяются ребром.

Построим по подмножествам граф: подмножествам будут соответствовать вершины в этом графе. Если выполнено первое условие, то соединим их ребром, если второе, то ребро — отсутствует. Такие графы, построенные по Г назовем Г — редуцированными графами. Доказывается, что если существует сюрьективный гомоморфизм алгебр Гекке: р: Н (Г) #(П), то П — Г — редуцированный граф. Назовем представления над Н (Т) — редуцированными, если они получаются из алгебр Гекке Г — редуцированных графов. Остальные представления назовем нередуцированными. На представлениях алгебры Гекке естественно определяется действие группы АиЬ (Г) автоморфизмов графа.

Далее, доказывается предложение о взаимооднозначном соответствии между ортогональными разложениями Мп (к) и АиЬ{Г) — орбит п — мерных нередуцированных представлений алгебры Гекке псевдоотражениями.

Во второй главе изучаются нередуцированные представления псевдоотражениями алгебры Гекке для произвольного графа и их связь с группоидом Пуанкаре графа.

Условие, что порождающие действуют псевдоотражениями, накладывают дополнительные соотношения. Профакторизовав по некоторым из них, получаем обобщенные алгебры Темперли — Либа (в работе и далее будем обозначать их В (Г)).

Определение. Обобщенной алгеброй Темперли — ЛибаВ (Г) для графа без кратных ребер и петель, как алгебру над кольцом целочисленных многочленов Х[г, г~1] с порождающими х", соответствующие вершинам графа Г и удовлетворяющими соотношениям:

ТЫ.а— = Х{, для любой вершины г .

ТЬ2.Х{Хз = 0, если нет ребра, соединяющего г и j.

ТЬЗ.Х{Х]Х{ = гхг, х$х{х^ — гхесли существует ребро 1].

Таким образом, вместо алгебры Гекке надо изучать представления минимальными проекторами алгебры В (Г). Далее, изучаются соотношения между порождающими в представлении минимальными проекторами, соответствующие факторалгебры и их свойства. А именно, если рассмотреть элементы xaxь. xfxa, соответствующие циклу а6./а в графе Г, то этому циклу однозначно сопоставляется скаляр Л. Далее, доказывается, что это соответствие гомотопически инвариантно. Следовательно, получаем что фиксированному представлению алгебры В{Г) минимальными проекторами соответствует характер первых гомологий графа Г.

Далее, для фиксированного характера х первых гомологий графа Г записываются соотношения в алгебре? г (Г). Профакторизовав по этим соотношениям получим алгебру РХ (Г). Размерность этой алгебры равна (фвершины (Т))2 4- 1. При общем характере первых гомо-логий, алгебраВХ (Г) — полупростая, изоморфная к ® Мп (к). Каждой вершине г соответствуют изоморфные проективные? Х (Г) — модули.

— Вх (Г)х{. Показывается, что подмодулями этих модулей могут быть только тривиальные. Этот тривиальный подмодуль совпадает с ядром оператора в пространстве модуля Вх (Г)х{.

Определим для графа алгебру путей 2[Р (Г)] как алгебру с порождающими е,-, соответствующие тривиальным путем в вершине г и.

— ребрами, соединяющими вершины г и ] и умножением, индуцированным композицией путей и нулем, когда эта композиция неопределена. Будем использовать для ребра, обратного к /обозначение.

Опишем конструкцию, предложенную Бондалом, кольца Г) квантового группоида Пуанкаре, являющееся однопараметрической тривиальной деформацией алгебры путей графа.

Приводится геометрическая реализация фР (Г). Для этого надо вместо топологического пространства графа взять Г х 51. Выберем ориентацию в Г и базисную точку Определим три типа ориентированных путей на этом пространстве: первый тип: гг- - простые петли 51 х г. Второй тип путей — стрелки 2оХ (стрелки в Г). Третий тип определим так: для каждой стрелки 7 = (¿-о X г, ¿-о х ]) из второго типа, определим ориентированный путь 7 из х ] в го х г, лежащий на цилиндре 51×7 и со свойством: 77 — гомотопна г, — в цилиндре.

Определяется структура (?Р (Г) — бимодуля на идеале аугментации В+(Т) следующим образом: = д^х^к^х^зк — Рассмотрим следующие элементы = е* + /у из кольца С}Р (Г). Тогда соответствие ф: Х{ —> определяет гомоморфизм В (Г) —у (¿-Р (Г). Несложно показывается, что фР (Г) как Р (Г) — модуль является проективным, что позволяет судить о модулях над обобщенной алгеброй Темперли.

— Либа по модулям над Р (Г). Для неприводимого В (Г) — модуля Ух имеем изоморфизм В (Г) — модулей:

0тв (г)(дР (Г), Кх) = 5Х (1>,-.

Рассмотрим проективный модуль Р* = 2[Р (Г)]еь тогда он определяет эквивалентность по Морите между модулями над группоидом и модулями над фундаментальной группой графа.

Введем элемент 6 = ^/^(этот элемент и называется оператором Лапласа на графе), здесь сумма берется по всем ребрам в графе. Далее, предлагается новое определение алгебры В (Г), введенное Бонда-лом, для произвольного графа как алгебра СдР$Р (Г), элементами которой будут элементами группоида (^Р (Г) с измененным умножением: х * у — ху + хду. Элемент 5 определяет гомоморфизмВ (Г) —> Г) соответствием: Х{ н-> е,-. Изучается применение конечных накрытий графов к гомоморфизмам обобщенных алгебр Темперли — Либа. При помощи накрытий определен гомоморфизм алгебр путей графов следующим образом: элементы одного группоида соответствуют сумме прообразов при накрытии в алгебре путей другого графа. Разбирается случай букета окружностей.

В заключении второй главы изучаются свойства оператора Лапласа на автоморфных функциях вершин регулярного графа. Используя описание тривиальных подмодулей в Bx (T)xi, получаем что тривиальный подмодуль — ядро оператора 8 + в 2[Р (Г)] - модуле автоморфных функций — Рг ®2[тг (г,<)] Изучается вопрос о нахождении характера х фундаментальной группы графа, при котором оператор 5 + имеет максимальную размерность. Введем параметр графа й (Г) как максимальное количество вершин в связной компоненте дуального графа. Доказывается оценка на размерность пространства собственных векторов, отвечающих одному собственному значению. А именно, эта размерность не более чем #вершинГ — я (Г). В случае, когда дуальный граф — объединение к полных графов и оценка на размерность пространства собственных векторов достигается, то А)(£ + (к — 1) А) == 0. При этом собственное значение, А равно ±-у/$(Г). Таким образом, ортогональные разложения алгебры Ли типа, А и ортогональные пары картановских подалгебр параметризуются характерами фундаментальных групп, соответствующих графов, при которых выполнено условие, что степень минимального многочлена элемента 5 при этом характере, равна 2.

В третьей главе вводятся основные определения Концевича, Розен-берга [11], Ле Брюйна [12], Прочезе [13], Крафта [14], Кунца, Квиллена [15] некоммутативной геометрии. Рассмотрим ассоциативную алгебру А. Определим некоммутативные 1 — дифференциальные формы как ядро, А — бимодульного гомоморфизма: т: А ® А —> А, т: а®й2 —> ай2. Далее, изучается связь между некоммутативными дифференциальными формами и келеровыми дифференциалами для коммутативной алгебры. Результат можно сформулировать так: келе-ровы дифференциалы — факторпространство некоммутативных форм по пространству суперкоммутаторов [ОМ, А]. Определяя универсальный след, А — бимодуля М как отображение пространств: Тг: М —" М/[М, А], получаем что келеровы дифференциалы — это следы некоммутативных форм.

После дифференциальных форм введем понятие квазисвободной алгебры. В уже упомянутых работах одно из эквивалентных определений сформулировано так: — проективный бимодуль. Для эквивалентного определения нужно определить когомологии Хохшильда, тогда эквивалентны следующие утверждения: А — квазисвободная алгебра, А имеет гомологическую размерность 1.

Сформулируем определение герп (А) пространств п — мерных представлений алгебры А, как многообразие, параметризующее гомоморфизмы алгебры, А в алгебру Мп (к). Свойство квазисвободности — инвариантно по Морите. Прочезе [13] показал, что пространство герп (А) — гладкое для любого п, тогда и только тогда, когда алгебра, А — квазисвободная. На многообразии герп (А) естественно действует группа СЬп (к). Фактормногообразие будем называть многообразием модулей.

Далее, следуя Концевичу и Розенбергу [11], определяем различные дифференциально — геометрические структуры. Функции на многообразии герп (А) — это симметрическая алгебра пространства следов элементов алгебры А. Некоммутативные дифференцирования алгебры, А определяют дифференцирования уже введенной алгебры функций на пространстве представлений алгебры А. Доказывается, что касательное пространство в точке р к многообразию представлений.

— пространство некоммутативных дифференцирований алгебры, А с коэффициентами в бимодуле Мп (к), бимодульная структура определяется посредством гомоморфизма р. Аналогично, Крафтом [14] доказан результат о касательном пространстве к многообразию модулей — ко-гомологии Хохшильда Hl (A, Endk{M)). Определены векторные поля на многообразии герп (А).

Далее, разобраны тривиальные примеры пространств представлений алгебр к[х] и к © к. А именно, герпк[х] - аффинное пространство кп, многообразие модулей — кп. Определим интеграл некоммутативных дифференциальных форм, посредством формулы:

Ju = J Тг (и>).

Зафиксируем элемент Р (х) алгебры к[х], будем рассматривать пространство представлений Vp = герп (к[х]/Р (х)). факторалгебры к[х] по идеалу, порожденному Р{х). Определим дерамовскую форму шр = TrP (x)dx на герпк[х], тогда форма шр равна 0 на Vp. Далее, используя соотношение:

Tr{fp{x)ax))=TrP{x)dX, получаем, что Vp — подмногообразие в особенностях функции = Tr (J P (x)dx).

Верно, и обратное, то есть Vp совпадает с особенностями функции /.

Рассмотрим многочлен Р (х) второй степени, не имеющий кратных корней. Тогда имеем изоморфизм алгебр: к[х]/Р (х) = к © к. Порождающие алгебры можно выбрать таким образом, что к ф к = к[е/ < е2 — е >. Доказывается, что многообразие герп (к (&к) — несвязное объединение векторных расслоений грассманианов Gr (k, n), к = 1, ., n—1. Действительно, порождающий алгебры к (В к является проектором, который определяется подпространством на которое элемент проектирует все пространство и подпространством вдоль которого оно проектируется.

Зафиксируем базис в п — мерном пространстве, будем рассматривать многообразия представлений гп (А) с выбранным базисом. Введем понятие характеристического элемента алгебры, А следующим образом:

Определение. Элемент, а? А назовем характеристическим, если для гомоморфизма /г: к[х] А, определенного как ?1: х —> а выполнено условие: морфизм схем герп (^): гп (А) герп (к[х]) является вложением (замкнутым или открытым).

Для характеристического элемента 5 алгебры А, рассмотрим двусторонний идеал порожденный элементом Р{б). Тогда для фактор-алгебры, А по этому идеалу имеем следующее:

Предложение 1 Многообразие представлений гп (А/1г) является пересечением в аффинном пространстве кп многообразий гп (А) и Ур.

В качестве следствия получаем, что гп (А/1г) — подмногообразие многообразия особенностей функций Тг (${5кР (8)й5)), к =.

Многообразие представлений алгебры путей графа Г размерности, равной числу вершин в графе Г — тор (к*)#реберГ. Многообразие модулей — (к*уапкн 1(П. Несложно показать, что элемент 6 = является характеристическим элементом алгебры путей графа без кратных путей и петель. Тогда для ортогональных разложений алгебры Ли, используя предыдущее изложение, получаем следующее утверждение:

Теорема 1 Многообразие ортогональных разложений алгебры б1(п) — пересечение в аффинном пространстве к^п +п) тора и векторного расслоения грассманиана Сг (п, п2 + п).

Рассмотрим граф Г, в котором минимальная длина цикла равна т. Зафиксируем многочлен Р степени, меньшей т. Введем для ребра I дифференцирования .О/ алгебры путей Г следующим образом:

А (7) = Ыгу, здесь |7|/ - число вхождений ребра I минус число вхождений I в путь 7. Эти дифференцирования в связи определяют инвариантные относительно действия тора векторные поля на многообразии (к*уапкН 1(г), Эти векторные поля в каждой точке порождают касательное пространство. Тогда имеем для многообразия Ур модулей алгебры &[Р (Г)], на которых выполнено соотношение Р (6) = 0, следующее утверждение:

Теорема 2 Многообразие представлений Ур — подмногообразие Бтдх (Тг (б1)Л = т,., п).

Показано, что свободные петли в графе Г — в точности, классы сопряженных элементов фундаментальной группы. Назовем класс {7} - примитивным, если элемент 7 порождает свой централизатор. Соответствующие элементы назовем примитивными. Тогда для любого элемента фундаментальной группы и имеем: существует примитивный элемент 7 и т, такие что ш = 7 т. Введем функцию Л на элементах фундаментальной группы:

ЛИ = /(7).

Зафиксируем представление р группы 7 г (Г, ?). Далее, введем Ь — функцию графа Г: — и1Ь) еШ~ м здесь сумма берется по всем сопряженным классам, отличным от {1}. Комбинаторными методами получаем соотношение на логарифмическую производную Ь (и, д): й °° к=1.

1одЬг (щд) = ?л (7)гф (7)Ь'(7Ь1,.

7}.

Получаем переформулировку: многообразие ортогональных разложений содержится в особенностях коэффициентов Ь — функции графа, соответствующего ортогональным разложениям алгебры Ли типа А.

Далее, рассматривается переформулировка результатов в терминах алгебры колчана и суперпотенциала на нем. Колчан — ориентированный граф с конечным числом вершин. Рассмотрим алгебру функций As на множестве вершин S. Бондалом А. И. предложено следующее описание: алгебра путей полного колчана k[Q^ul1] - алгебра некоммутативных дифференциальных операторов на алгебре As. Алгебра путей колчана — факторалгебра fc[(Q)^uZZ] по отсутствующим в Q стрелкам. Введем на петлях в колчане отношение эквивалентности.

— петли, а и? — эквивалентны, если одну можно получить из другой циклической перестановкой вершин. Такие классы будем называть ожерелием. Приводится доказательство Брокланда и Jle Брюйна тех фактов, что в пространстве kQ/[kQ, kQ] можно выбрать базис из тривиальных путей и ожерелий и в пространстве дерамовских 1 — форм на колчане базис: 7da, для пути 7 и стрелки а, образующих петлю 7а. Далее, вводятся «частные» дифференцирования алгебры функций на колчане. Суперпотенциал W — линейная комбинация ожерелий. Под факторалгеброй по суперпотенциалу будем понимать фактор по соотношениям dWf да = 0.

Сопоставляя графу Г соответствующий двойной колчан (Q>r> получаем описание факторалгебры &[Р (Г)]/ < P (S) >. А именно, рассмотрим алгебру элемент S = 53 а ~ сумма по всем стрелкам из колчана Qr и определим суперпотенциал Wp = Tr (f Р (6)). Рассмотрим фактор В алгебры по суперпотенциалу Wp. Фактор по отсутствующим стрелкам можно тоже описать в терминах суперпотенциала W = 53 здесь сумма берется по стрелкам, невходящим в двойной колчан, но не входящим в QrФакторы сначала по Wp, а потом и по W надо профакторизовать по соотношениям aijaij = е,-.

В последней части предлагается новое доказательство старого результата Кострикина А. И., Кострикина И. А., Уфнаровского В. А. об ортогональных пар в алгебрах sl (n), n < 5 с помощью оператора Лапласа.

Основные результаты были опубликованы в [18], [19], [20] и докладывались автором на семинарах «Избранные главы алгебры», научно.

— исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры МГУ и Бондалом А. И. в физическом центре во Франции.

Автор посвящает работу светлой памяти своего учителя Костри-кина А. И. и выражает глубочайшую признательность Бондалу А. И. за многочисленные обсуждения и внимание к работе, Зайцеву М. В. за поддержку и внимание.

1. Кострикин А. И., Кострикин И. А., Уфнаровский В. А. Ортогональные разложения простых алгебр Ли. — ДАН, 1981, 260, 3.

2. Кострикин А. И., Кострикин И. А., Уфнаровский В. А. Ортогональные разложения простых алгебр Ли (тип А). Труды Мат. Института им. Стеклова 158(1981). 105 — 120.

3. Кострикин А. И., Кострикин И. А., Уфнаровский В. А. К вопросу о единственности ортогональных разложений простых алгебр Ли типа, А и С. Исследования по алгебре и топологии. Мат. Исслед. 74(1983), Штиинса, Кишинев.

4. Кострикин А. И., Кострикин И. А., Уфнаровский В. А. Разложения классических алгебр Ли. Труды Мат. Института им. Стеклова 166(1984), 107 120.

5. Кострикин А. И., Кострикин И. А., Уфнаровский В. А. Разложения в простых алгебрах Ли. Препринт, Кишинев, 1983, 79 стр.

6. Кострикин А. И., Фам Хуу Тьеп, Классификация неприводимых ортогональных разложений простой комплексной алгебры Ли типа Ап. Алгебра и Анализ 3(1991), 86 109.

7. Кострикин А. И. Неприводимые разложения простых алгебр Ли типа Ап. ДАН, 1991, 314, 4.

8. Иванов Д. Н. Об аналоге теоремы Вагнера для ортогональных разложений М"©. Успехи Мат. Наук. 49(1994), 1, 215 216.

9. Иванов Д. Н. Ортогональные разложения полупростых ассоциативных алгебр, Вестник МГУ, Сер. Мат. Мех. 1988, 1, 9 14.

10. Kostrikin А. I., Pham Huu Tiep. Ortogonal decompositions and integral lattices. Berlin: Walter de Gruyter, 1994.

11. Kontsevich M. and Rosenberg A. Noncommutative smooth spaces, http://xxx. lanl. gov/math. AG/9 812 158 (1998).

12. Le Bruyn L. Noncommutative geometry @", http://xxx. lanl. gov/math. AG/990 4171(1999).

13. Procesi C. A formal inverse to the Cayley Hamilton theorem, J. Algebra 107(1987), 63 — 74.

14. Kraft H. Geometric methods in representation theory. In: Representations of algebras. Workshop Proceedings, Puebla, Mexico, 1980.

15. Cuntz J. and Quillen D. Algebra extension and nonsingularity, Journal of AMS 8(1995), 251 289.

16. Венков А. Б., Никитин A. M. Формула Зельберга, графы Раману-джана и некоторые проблемы математической физике, Алгебра и Анализ, 5, но. 3, (1993).

17. Chekhov L. О. Spectral problem on graphs and L functions, http://xxx. lanl. gov/cond — mat/991 1244(1999).

18. Ждановский И. Ю. Об ортогональных парах 1, Вестн. Моск. Унта. Сер. 1. Математика. Механика. 2001. 1. с. 51 54.

19. Ждановский И. Ю. Об ортогональных парах 2, Вестн. Моск. Унта. Сер. 1. Математика. Механика. 2001. 5. с. 44 46.

20. Ждановский И. Ю. Ортогональные разложения, пары в sl (n) и оператор Лапласа на графе, деп. ВИНИТИ РАН но. 1952;В2003 от 13.11. 2003. 44с.