Теория оптимальных разрывных систем стала интенсивно развиваться в 1960;е годы в связи с практическими потребностями и общим интересом к проблемам управления. Термин «разрывная система «служит собирательным наименованием большого класса моделей (составных, сложных, многоэтапных, с промежуточными условиями и т. д.), которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с кусочно-непрерывными правыми частями. Как указано в [1], в терминах разрывных систем формулируются многие содержательные инженерно-технические задачи, связанные, например, с движением летательных аппаратов в анизотропных средах, распространением сейсмических колебаний, работой вибромашин и вибротранспортеров, протеканием ударных и взрывных процессов, управлением манипуляторами, функционированием противоаварий-ной автоматики электроэнергетических систем. Они возникают также в задачах исследования деформации цепочки из нескольких струн [19]. Разрывные системы широко используются в экономике, химической технологии, теории автоматического регулирования, теории систем с переменной структурой и других областях науки. В монографии [1] основное внимание сконцентрировано на проблеме необходимых и достаточных условий оптимальности управления и их применении для решения практических задач. В [10] исследуются ступенчатые системы управления, которые также относятся к разрывным системам. В [9, 27] рассматриваются задачи оптимального управления с ограничениями в промежуточных точках траектории. С помощью метода Данбу (см. [22], стр. 58) размножения фазовых и управляющих переменных эти задачи сводятся к стандартной задаче оптимального управления понтрягинского типа с ограничениями типа равенства и неравенства на концы траектории, доказываются необходимые условия оптимальности, обобщающие классический принцип максимума Понтрягина. Этот же прием применяется к задачам с так называемой переменной структурой и некоторым типам гибридных задач. В [3] рассматривалось необходимое условие оптимальности управления в задаче обхода объектом в указанном порядке заданных точек, если его ресурсы ограничены, при этом моменты времени, когда объект сближается с заданными точками, заранее не известны, а выбор управления стеснен ограничением. В [34] описана задача определения объема воды в озере, которая сводится к задаче с промежуточными точками. В этой статье рассматривается одномерное управление. Условия оптимальности управления линейными дескрипторными системами с промежуточными точками в квадратичном критерии качества получены в [29].
Интерес к разрывным системам не угасает до сих пор (см., например, недавно изданные монографии [31, 25], в которых исследуются проблемы устойчивости таких систем).
В настоящее время, когда точные методы анализа почти исчерпаны, приближенные аналитические и асимптотические методы исследования математических моделей (в частности, в виде соответствующих дифференциальных уравнений) стали неотъемлемой частью теории математического моделирования, позволяя выписывать приближенные решения достаточно сложных возмущенных задач, если известны решения соответствующих (обычно более простых) невозмущенных задач.
Возмущения в задачах оптимального управления могут быть связаны как с постановкой задач (малые постоянные времени, моменты инерции, массы, большие коэффициенты усиления и т. п.), так и с методами исследования задач управления (параметры штрафа, регуляризации, аппроксимации импульсов и др.). Использование асимптотических методов часто позволяет значительно упростить исходную математическую модель, например, пренебречь нелинейностями, произвести декомпозицию исходной задачи на задачи меньшей размерности.
В подавляющем большинстве работ, посвященных задачам оптимального управления с малым параметром, асимптотический анализ решений производится на основе асимптотики решения краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления. Чаще всего при этом используются методы Пуанкаре и пограничных функций Вишика-Люстерника-Васильевой, а также метод интегральных многообразий (см., например, обзоры [28], [4], [33], [12], [32], [8] и статью [21]).
Второй путь построения асимптотики решения задач с малым параметром, названный в [26] прямой схемой, заключается в непосредственной подстановке в условия задачи постулируемого асимптотического разложения решения и определении серии задач для нахождения коэффициентов асимптотики. При таком подходе учитывается вариационная природа исходной задачи. Существенным преимуществом является также возможность доказать невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления и использовать пакеты программ для нахождения членов асимптотического разложения. Этот подход использовался для построения первого приближения в задаче управления нелинейными слабоуправляемыми системами при наличии ограничений на управление типа замкнутых неравенств в работах [23], [24], [15], [18] и без ограничений на управление в монографии.
17]. Высшие приближения решения в последней задаче были построены в [11]. Существенное развитие прямая схема получила в работах [26, 2], посвященных исследованию сингулярно возмущенных непрерывных задач оптимального управления в случае отсутствия ограничений на управление. При этом было построено асимптотическое решение любого порядка точности, доказаны оценки близости асимптотического решения к точному для управления, траектории и функционала, а также установлено невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления. Обзор работ, посвященных применению прямой схемы в различных задачах, приведен в [8].
Целью данной диссертационной работы является построение асимптотических решений следующих задач оптимального управления:
— линейно-квадратичная задача оптимального управления с промежуточными точками и малым параметром в критерии качества;
— нелинейная задача оптимального управления с различной ценой слагаемых, зависящих от промежуточных точек;
— линейно-квадратичная задача оптимального управления с уравнением состояния, разрывным в промежуточной точке.
Прямая схема построения асимптотического решения задач оптимального управления является основным методом в данной диссертационной работе. Также используются теория оптимального управления, классические методы дифференциального исчисления функций многих переменных и теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы из 48 наименований. Общий объем диссертации — 122 стр. Изло.
1. Ащепков, Л. Т. Оптимальное управление разрывными системами / J1. Т. Ащепков. —Новосибирск: Наука, 1987. — 225с.
2. Белокопытов, С. В. Решение классических задач оптимального управления с погранслоем / С. В. Белокопытов, М. Г. Дмитриев // Автоматика и телемеханика. —1989. —№ 7. — С. 71−82.
3. Бердышев, Ю. И. Об одной последовательной оптимизации без декомпозиции во времени / Ю. И. Бердышев // Кибернетика. —1987. — № 4. С. 32−35.
4. Васильева, А. Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления / А. Б. Васильева, М. Г. Дмитриев // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Математический анализ. -1982. Т. 20. — С. 3−78.
5. Васильева, А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — М.: Высш. шк., 1990. — 208 с.
6. Гроздовский, Г. Л. Механика космического полета с малой тягой / Г. JT. Гроздовский, Ю. Н. Иванов, В. В. Токарев. — М.: Наука, 1966. — 678 с.
7. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. JI. Далецкий, М. Г. Крейн. — М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1970. — 536с.
8. Дмитриев, М. Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Автоматика и телемеханика. —2006. — № 1. С. 3−51.
9. Дмитрук, А. В. Принцип максимума для задач оптимального управления с промежуточными точками / А. В. Дмитрук, А. М. Каганович // Нелинейная динамика и управление (Ред. С. В. Емельянов, С. К. Коровин), вып. 6. — М: Физматлит, 2008. — С. 101−136.
10. Захаров, Г. К. Оптимизация ступенчатых систем управления / Г. К. Захаров // Автоматика и телемеханика. — 1981. —№ 8. — С. 5−9.
11. Курина, Г. А. Высшие приближения метода малого параметра для слабоуправляемых систем / Г. А. Курина // Доклады РАН. — 1995. — Т. 343, № 1. С. 28−32.
12. Курина, Г. А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной. Обзор / Г. А. Курина // Известия РАН. Техн. кибернет. — 1992. — № 4. — С. 20−48.
13. Курина, Г. А. Асимптотическое решение нелинейной периодической задачи оптимального управления с матрично сингулярно возмущенным уравнением состояния / Г. А. Курина, С. С. Щекунских // Дифференциальные уравнения. 2005. — Т. 41, № 10. — С. 1332−1344.
14. Ли, Э. Б. Основы теории оптимального управления / Э. Б. Ли, JI. Маркус. — М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, — 1972. — 576 с.
15. Любушин, А. А. Сходимость метода малого параметра для слабо-управляемых оптимальных систем / А. А. Любушин // Прикладная математика и механика. — 1978. — Т. 42, вып. 3. — С. 569−573.
16. Матвеев, А. С. Оптимальные системы управления: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные задачи. / А. С. Матвеев, В. А. Якубович. — СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 2003. 540 с.
17. Моисеев, Н. П. Асимптотические методы нелинейной механики. / Н. Н. Моисеев. — М.: Наука, 1981. — 400 с.
18. Первозванский, А. А. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация / А. А. Первозванский, В. Г. Гайцгори. — М.: Наука, 1979. 344 с.
19. Покорный, Ю. В. О некоторых натуральных одномерных краевых задачах / Ю. В. Покорный, М. Б. Зверева, Т. В. Перловская. — Воронеж: ВГУ, 2007. 36 с.
20. Понтрягип, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Е. Ф. Мищенко. — М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1976. — 392 с.
21. Соболев, В. А. Сингулярные возмущения в линейно-квадратичной задаче оптимального управления / В. А. Соболев // Автоматика и телемеханика. 1991. — № 2. — С. 53−64.
22. Смолъяков, Э. Р. Неизвестные страницы истории оптимального управления / Э. Р. Смольяков. — М.: Едиториал УРСС, 2002. — 104 с.
23. Черноусько, Ф. Л. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром / Ф. JI. Черноусько // Прикладная математика и механика. 1968. — Т. 32, вып. 1. — С. 15−26.
24. Черноусько, Ф. Л. Управления колебаниями. / Ф. JI. Черноусько, JI. Д. Акуленко, Б. Н. Соколов. — М.: Наука, 1980. — 384 с.
25. Boiko, I. Discontinuous Control Systems: Frequency-Domain Analysis and Design / I.Boiko. —Birkhauser, Boston, 2008. — 212 p.
26. Belokopytov, S. V. Direct scheme in optimal control problems with fast and slow motions / S. V. Belokopytov, M. G. Dmitriev // Systems and Control Letters. -1986. 8, No. 2. — P. 129−135.
27. Dmitruk, A. V. The hybrid maximum principle is a cosequence of Pontryagin maximum principle / A. V". Dmitruk, A. M. Kaganovich // Systems and Control Letters. -2008. 11, V. 57. — P. 964−970.
28. Kokotovic, P. V. Singular perturbations and order reduction in control theory an overview. / P. V. Kokotovic, R. E. O’Malley, Jr. P. Sannuti // Automatica. — 1976. — V. 12, № 3. — P. 123−132.
29. Kurina, G. On some linear quadratic optimal control problems for descriptor systems / G. Kurina // Research Reports in Mathematics. Department of Mathematics, Stockholm University. — 2006. — No. l.(http://www. math. su. se/reports'/2006/l).
30. Kurina, G. A. Some non-standard linear quadratic problems for descriptor systems / G. A. Kurina // Proceedings of the 45th IEEEConference on Decision Sz Control. Manchester Grand Hyatt Hotel. San Diego, CA, USA, December 13−15. 2006. — P. 1466−1471.
31. Liberzon, D. Switching in Systems and Control / D. Liberzon. — Birkhauser, Boston, 2003.
32. Naidu, D. S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications: An overview / D.S. Naidu. // Dynamics, of Continuous, Discrete and Impulsive Systems Series B: Applications &- Algorithms. — 2002. V. 9. — P. 233−278.
33. Saksena, V. R. Singular perturbations and time-scale methods in control theory: survey 1976;1983 / V. R. Saksena, J. O’Reilly, P. V. Kokotovic // Automatica. 1984. — V. 20, № 3. — P. 273−293.
34. Zhou, Y. Control theoretic splines with deterministic and random data / Y. Zhou, M. Egerstedt, C. Martin // Proc. 44th IEEE Conf. Decision and Control and the European Control Conf., Seville, Spain. — 2005. — P. 362−367.
