Математическое моделирование гемодинамики системы артерий основания головного мозга

Применение математического моделирования и численных методов в естествознании привело к созданию нового метода исследования — вычислительного эксперимента, который приобретает особое значение в тех случаях, когда в силу причин экономического или методического характера проведение прямого эксперимента сопряжено с большими жрудностями или практически невозможно. Так физиологические методы исследования регулирования мозгового кровотока (МК) являются опасными, требуют сложных оперативных вмешательств, В этих условиях важно, чтобы прямому эксперименту предшествовало теоретическое исследование соответствующего процесса. Вычислительный эксперимент даёт возможность на математической модели процесса изучить закономерности взаимодействия различных гемодинамических параметров, обнаружить и предсказать ряд интересных и важных в практическом отношении эффектов, проверить те или иные гипотезы.

Целью диссертации является исследование функционирования системы артерий основания головного мозга в условиях изменения уровня общего артериального давления (ОАД). Основной метод исследования в данной работе — математическое моделирование. Результаты работы состоят в следующем:

1) развита и детально исследована математическая модель регуляций мозгового кровообращения;

2) численно исследована способность различных групп сосудов системы регулировать МК, что позволило определить группу артерий, обеспечивающих оптимальное функционирование системы в условиях изменения ОАД;

3) дана количественная оценка влияния физически допустимых постоянных однородных магнитных полей на гемодинамические параметры системы кровоснабжения головного мозга.

Некоторые результаты диссертации экспериментально подтверждаются исследованиями, проведенными в Институте физиологии АН Грузинской ССР,.

В работах J -[6] представлены математические модели, описывающие гемодинамику рассматриваемой системы сосудов. Авторы сопоставляют живой системе гидравлический [jf], гидродинамический [?] или электрический Lаналог, который описывается математически. В/. S] с позиций теории упругости изучены активные свойства внутренних сонных артерий, В [?] приведена формула, отражающая связь основных гемодинамических параметров системы в целом. Ни одна из этих моделей не предназначена для исследования функционирования системы мозговых артерий в условиях изменения ОАД, так как не описывает обратную связь в живой системе: способность собственными средствами регулировать МК,.

Диссертация состоит из четырёх глав. В главе X дан обзор математических моделей артериальной части сосудистого русла (в частности, артериальной системы кровоснабжения головного мозга) — в соответствии с данными, приведенными в медицинской литературе, описаны функциональные особенности мозговцх артерий и физиологические закономерности кровоснабжения головного мозгапостроена математическая модель регулирования кровотока в системе артерий основания головного мозга.

В модели кровь рассматривается как однородная, вязкая, несжимаемая жидкостьартерии — как жёсткие цилиндрические трубки с непроницаемыми стенкамипоток крови считается постоянным, течение — ламинарным.

Рассматриваемой системе сосудов ставится в соответствие гидравлический аналог [I] - разветвлённая система гидравлических проводников. Адекватность гидравлической модели Ll] проверена на собаках. Относительно неизвестных потоков в трубкахсосудах выписывается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

A®K-F} (I) состоящая из уравнений неразрывности, записанных для узлов системы и уравнений энергии (уравнений типа Пуазейля), записанных для независимых путей.

Здесь А (Я) — квадратная невырожденная матрица порядка ft — (Ri,., Яп) — вектор гидравлических сопротивлений. Элемент матрицы Cl^j определяется: av>/?/?).

О,? L — в уравнениях неразрывностиУ — в уравнениях энергии.

Гидравлическое сопротивление участка сосуда, заключённого между двумя соседними узлами, Я: определяется по формуле: J.

— = flfjitLj/ГЗ)^ (2) где J4, — вязкость крови,.

Lj — длина участка,.

Л) — '.

— диаметр участка.

Правые части F-(Fj. / Fn) определяются следующим образом: г .

О — в уравнениях неразрывности и в уравнениях р. — ] энергии для замкнутого пути;

Рн ~Рк) — в уравнениях энергии для разомкнутого пути,.

— 7.

Здесь Рн — давление на входе системы,.

Рк, — давление на выходе системы, равное давлению в капиллярах (Рк ') ,.

X~(Xi XnJ ~ вектор неизвестных потоков на участках системы*.

Величины длин и диаметров взяты из работы LfaJ. В работах I ij «If с] приведены результаты расчётов, но не описана математическая модель (СЛАУ). При фиксированной правой части F, соответствующей принятому за нормальное давлению на входе системы, решение СЛАУ (I) совпало с приведенным в fij решением, т. е. совпало направление потоков и соотношения между потоками на участках системы. Это сравнение показывает, что при фиксированном нормальном давлении на входе системы математическая модель (I), описывающая гидравлику системы, даёт результаты, совпадающие с экспериментальными данными, полученными на собаках в pi] • В основе качественной модели регулирования Ж лежат следующие физиологические закономерности:

1) при изменении давления на входе системы меняются диаметры сосудов, причём при повышении давления диаметры уменьшаются, при снижении — увеличиваются;

2) при изменении давления на входе системы суммарный поток крови на выходе системы (мозговой дебит) остаётся постоянным.

Математическое описание этих закономерностей сводится к следующему:

1) при изменении правой части F СЛАУ (I) матрица fl (ft) изменяется, так как изменяются компоненты flj, определяемые по формуле (2);

2) на решение Л СЛАУ (I) накладывается ограничение:

2l — Q0 — ^-i^A-t- } (3) где J/c — множество номеров участков, расположенных на &bdquo-выходе системы, Xj — соответствующие компоненты вектора X Константа.

Q с ~~ эс ?

Jtfu. J где Х- - компоненты решения X СЛАУ (I) при F-F" .

J • F" соответствует принятому за нормальное давлению на входе), fi (Я) — A (fZe) (Rc — вектор гидравлических сопротивлений, компоненты которого вычислены при значениях длин Lи.

V.. ¦ диаметров Mj из ttfoj по формуле (2)).

Таким образом, математическая модель, описывающая функционирование системы артерий основания головного мозга в условиях изменения ОАД сводится к СЛАУ (I) с матрицей fifth зависящей от &, и ограничению (3) на решение X •.

В главе 2 поставлена и исследована задача синтеза состояния системы, возникающая при исследовании механизма регуляции МК.

Рассмотрим СЛАУ (I). Пусть Я & П «F & С1 «где Г], JT2, — замкнутые ограниченные множества /гмерного евклидова пространства Я*1,. Требуется для любого F<= Q найти такое ft & П (синтезировать матрицу ft ft)), чтобы выполнялось условие (3).

Задача является некорректно поставленной. Для её решения необходима дополнительная информация /Г ?7. В данном случае доопределяющая задачу информация носит качественный характер. В соответствии с физиологическими наблюдениями предполагается, что три группы артерий системы независимо друг от друга могут регулировать МК. Тогда fl (я) можно записать в виде: fiW '- л и рассматривать три вида операторов: «-V «oi a j, а т = л где l t C^J «вектора.

Поставленная задача синтеза распадается на три независимые однотипные задачи, В предположении пропорционального изменения компонент векторов fiL эти задачи становятся однопа раметрическими. Стратегия синтеза fi^L к J известна. В каждой из трёх задач решение определяется однозначно. Под оптимальным понимается решение /} (Я *) которое даёт г / JZ>jj?f I ll-xjl'l*-!/ num. J trxoi^x. IJ- -t m.

Однопараметрические задачи решаются численно методом последовательных приближений. Программа реализована на языке ФОРТРАН, время счёта на БЭСМ-6 меньше минуты.

В диссертации показано, что матрица СЛАУ fl (H) является невырожденной и хорошо обусловленной для любых R& П • Это обосновывает правомерность использования для численного решения СЛАУ метода последовательного исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу С Я] •.

В работе также доказано, что при сделанных предположениях относительно характера изменений вектора Я имеет место устойчивость предложенного метода решения задачи к малым изменениям начальных данных.

В главе 3 описаны результаты вычислительного эксперимента, который позволил выявить роль каждой группы артерий в регулировании Ж Г при изменениях ОАД. В рамках описанной математической модели получено, что: сонные артерии регулируют МК при изменении ОАД от, НО до 125 мм рт. ст., позвоночные — от 118 до 135 мм рт.ст. соединительные — от 90 до 200 мм рт. ст. При функционировании соединительных артерий наблюдаются наименьшие изменения диаметров и минимальные отклонения от нормы потоков в системе.

На основании приведенных расчётов можно предположить, что в живом организме при изменении ОАД первостепенная роль в регулировании МК принадлежит соединительным артериям, а также, что одной из функций виллизиева круга (возможно основной) является активное регулирование МК как при физиологических, так и при некоторых паталогических условиях.

В главе 4- построенная математическая модель была использована для численного исследования влияния постоянного однородного магнитного поля (ПМП) на систему артерий основания головного мозга.

Одним из возможных биофизических механизмов воздействия ПМП на живой организм является магнитогидродинамическое воздействие [&]. В диссертации предполагалось, что ПМП оказывает непосредственное (магнитогидродинамическое) влияние на кровь в аорте, а влияние ПМП на систему артерий основания черепа сказывается через изменение давления на входе системы. Такое рассмотрение возможно в силу того, что моделируемая система сосудов и участок аорты, от которого ответвляются артерии, расположенные на входе системы, находятся в разных плоскостях, приблизительно перпендикулярных друг другу. Для количественной оценки магнито-гидродинамического влияния ПМП на кровь в аорте рассмотрена задача о течении однородной вязкой несжимаемой жидкости с малым числом Рейнольдса в трубке с непроницаемыми непроводящими стенками при наличии постоянного однородного магнитного поля, перпендикулярно направленного по отношению к направлению потока жидкости. Выведено уравнение, описывающее движение жидкости: jnau,-u, 4z — > (4) где yV — коэффициент вязкости жидкости, Р — давление, ^ - скорость, Л — электропроводность, Во — напряжённость ПМП, С — электродинамическая постоянная. В If о] получена зависимость изменения градиента давления от числа Гартмана. В настоящей работе вычислены потоки крови и давление в узлах системы при воздействии ПМП напряжённостью fC* Zrf0*3'fc* эрстед. При таких полях давление на входе системы меняется не более, чем на 2,7%.

Проведенное численное исследование показывает, что в рамках данной модели магнитогидродинамическое воздействие ПМП на вход системы артерий основания головного мозга не приводит к существенным изменениям потоков в артериях и давления в узлах.

Результаты диссертации докладывались на семинарах физического факультета МГУ и кафедры нормальной физиологии медицинского факультета УДН, на конференции молодых учёных Института химической физики АН СССР.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1<?1Н&-1 В заключение автор выражает свою благодарность научному руководителю профессору Е. В. Захарову за постоянное внимание к работе, а также заведующему кафедрой нормальной физиологии УДН, профессору Н. А. Агаджаняну за обсуждение прикладных результатов работы.

— 13.

ВЫВОДЫ.

Основной результат диссертации состоит в создании математической модели функционирования системы артерий основания головного шзга в условиях изменения уровня общего артериального давления, что дает возможность проведения вычислительного эксперимента. В случаях, когда не удается получить информацию прямым экспериментальным способом, вычислительный эксперимент является единственно возможным. Так, информация о перераспределении потоков и давления крови в рассматриваемой части сосудистого русла в настоящее время может быть получена только в результате проведения вычислительного эксперимента.

На основании численных результатов можно сделать ряд выводов.

1. В системе артерий основания головного мозга выделяются три группы сосудов:

1) общие сонные, внутренние сонные и нэружныз сонные артерии;

2) позвоночные артерии;

3) соединительные артериикаждая ю которых способна регулировать мозговой кровоток, обеспечивая постоянство дебита мозгового кровообращения, при изменениях уровня общего артериального давления (ОАД), причем: группы сонных и соединительных артерий регулируют кровоток как при увеличении, так и при снижении уровня ОАДгруппа позвоночных артерий — только при повышении ОАД.

2. При функционировании соединительных артерий наблюдаются наименьшие изменения диаметров регулирующих кровоток сосудов и минимальные относительные отклонения потоков от нормы во всех артериях системы. Это указывает на первостепенную роль соединительных артерий в регулировании мозгового кровообращения в живом организме.

3. Широта диапазона изменения ОАД, в пределах которого соединительные артерии способны регулировать мозговой кровоток, позволяет утверждать, что виллизиев круг осуществляет активное регулирование мозгового кровообращения как в физиологических, так и в патологических условиях.

4. На предложенной математической модели исследован вопрос о влиянии постоянного магнитного поля (ПМП) на рассматриваемую систему сосудов. Исследование показало, что магнитогидродинамическое воздействие однородного ПМП на кровь в аорте приводит к незначительным изменениям потоков и давления крови в системе артерий основания головного мозга.

— 96.