Приближенное вычисление потенциалов Рисса

§ 1. О содержании диссертации.

В диссертации будут рассматриваться, главным образом, квадратурные формулы, т. е. формулы вида.

Параметры си точки X}- соответственно называются коэффициентами и узлами квадратурной формулы, р{х) — фиксированная функция называемая весовой, /(х) — интегрируемая функция. В настоящее время теория квадратурных формул разработана достаточно полно. Квадратурные формулы, такие как, например, формулы Ньютона-Котеса, Гаусса, Грегори, Чебышева и другие, широко используются в различных областях науки и техники.

Отметим, что в случае многомерного интегрирования по области О квадратурные формулы принято называть кубатурными, т. е.

Для формул интегрирования, как правило, указывается некоторое множество функций, на которых она точна при минимальном или фиксированном числе узлов N. Обычно это множество, состоящее из алгебраических или тригонометрических многочленов степени не выше некоторого фиксированного числа.

Задачи приближенного интегрирования состоят в том, чтобы сумму, стоящую в правой части (0.1), подобрать с учетом выполнения тех или иных заранее заданных свойств формулы (0.1). Укажем на несколько подходов для определения качества квадратурных и кубатурных формул.

0.1) N 3.

Для алгебраического подхода характерно оценивать кубатурные формулы по-тому, насколько большее число полиномов они обращают в точное равенство (т. е. лучшей считается формула, точная на возможно большем числе полиномов при заданном числе узлов). Подобные исследования можно проводить и для отличных от алгебраических полиномов наборов функций, например, тригонометрических или сферических многочленов. Исследования, связанные с кубатурными формулами, обладающими высоким порядком точности, проводили, например, И. П. Мысовских [26 — 28], В. И. Крылов [12] и другие.

Среди других методов приближенного интегрирования часто полезными являются методы, основанные на теории вероятности, например, метод Монте-Карло [3, 10, 25, 53, 54].

Данная диссертация относится к научному направлению, связанному с оценками погрешностей интегрирования, основанных на применении функционального анализа и теории функций действительной переменной. Особенно широко методы такого рода стали применяться после работ С. М. Никольского и С. Л. Соболева (см, например, книги [31] и [51]).

Различные вопросы теории квадратурных и кубатурных формул, относящиеся к этому направлению, изложены в ряде монографий и статей, см., например, Н. С. Бахвалов [2], В. И. Крылов [12]. Квадратурные и кубатурные формулы на классах интегрируемых функций и в функциональных пространствах исследовали, например, И. В. Бойков [5], В. Л. Васкевич [б], В. И. Половинкин [34], М. Д. Рамазанов [43 — 45], Ц. Б. Шойнжуров [56, 57].

Основная цель диссертации — исследование квадратурных формул для интегрирования функций, представимых в виде потенциала типа Рисса, на основе оценок их погрешностей на элементах некоторого линейного нормированного пространства. Эти потенциалы хорошо известны (см., например, [47, 55]).

Кратко опишем постановку рассмотренных задач и полученные результаты.

Рассмотрим квадратурные формулы ь и N.

ПЛ = [ /(*) «¿-МЛ = <Г ск/(хк), (0.2) а оо < а < Ь < оо, про которые известно, что они точны на многочленах степени не выше т = [а], где, а > 0 — дробные числа.

В дальнейшем для удобства будем вести речь не о квадратурных формулах вида (0.2), а о функционалах погрешностей (или ошибок) соответствующих формул, определенных равенствами ь м = [ /(^-?с^/Ы, а к=1 а вместо последовательностей формул интегрирования рассматривать соответствующие последовательности функционалов ошибок.

В настоящей диссертации исследуются квадратурные формулы в классах Аа (Ьр (а, 6)), состоящих из функций, представленных в виде потенциала Рисса.

А" (х) = I? х-гг^м, в котором, а не является натуральным числом. Они сходны с пространствами Ь™(а, Ь), Ь&trade-(£1) и Ьр (а:Ь), где Ь&trade-(£1) — известные пространства Соболева, Ь™(а, Ъ) — их одномерные аналоги (т — целое число). Пространства Ьр (а, Ь), рассмотренные в [39], состоят из интегрируемых функций, у которых порядок производных, а не является целым числом, а сами производные называются дробными производными Римана—Лиувилля.

Пространства типа Ь&trade- — это классические и хорошо изученные пространства анализа. Исследованиями квадратурных и кубатурных формул в пространствах и классах функций, связанных с дробными производными параметры гладкости которых характеризуются числами, не являющимися целыми) занимались многие авторы и ранее. Например, приближенное интегрирование функций «промежуточной гладкости» исследовалось для классов функций, определяемых через модули непрерывности и пространства, связанные с условием Гёльдера [1, 31], через коэффициенты рядов типа Хаара [32, 53], в классах функций, заданных через ряды Фурье [43] или производные в смысле Вейля [32], а также в пространствах, порожденных дробными производными Римана-Лиувилля [48 — 50] и [38, 39]. Выбор таких пространств связан не в последнюю очередь с тем, что дробные интегрирование и дифференцирование занимают важное место в теории функций, с ними связаны разные теоремы вложений и их приложения [4]. Производные дробного порядка встречаются в различных областях математики, в том числе во многих задачах, носящих прикладной характер [30, 47, 58, 59, 60, 61]. Например, дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в настоящее время приобретает важное значение в теории фракталов и систем с памятью.

В дробном исчислении и при исследовании дифференциальных уравнений с частными производными смешанного типа важную роль [30, с. 35] играет потенциал вида с плотностью </?(?) и со степенным ядром х — ?|а~1/Г (—а), который рассматривается в данной диссертации, а также дробная производная потенциала с ядром из (0.3) — в теории задач со смещением для уравнения с оператором Геллерстедта (см. там же с. 24).

Перейдем теперь непосредственно к содержанию диссертации.

Данная диссертация состоит из содержания, введения, основной части, включающей пять глав, и списка литературы. ъ, а ~ сопвЬ < 0.

0.3) а.

Точные формулировки результатов диссертации во введении, как правило, не приводим, так как они есть в главах 1−5 и в автореферате.

1. Бабенко К. И. Основы численного анализа/ К. И. Бабенко — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 848 с.

2. Бахвалов Н. С. Численные методы/ Н. С. Бахвалов М.: Наука, 1975.

3. Бесов О. В. Интегральные представления функций и теоремы вложения/ О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский М.: Наука, 1975, 480 с.

4. Бойков И. В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов/ И. В. Бойков Ч. 2. — Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1995. 128 с.

5. Васкевич В. Л. Гарантированная точность вычисления многомерных интегралов/ В. Л. Васкевич // Дисс. докт. физ.-мат. наук. Новосибирск, 2003. 243 с.

6. Ганеев P.M. Решение обобщенного интегрального уравнения Абеля с постоянными коэффициентами/ P.M. Ганеев // Известия высших учебных заведений. 1982. № 6. — С. 14−18.

7. ГаховФ.Д. Краевые задачи/ Ф. Д. Гахов М.: Наука, 1977.

8. Гиршович Ю. М. Норма функционала ошибки квадратурной формулы типа Грегори/ Ю. М. Гиршович // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. Т. 20. — № 1. — С. 230−235.

9. Ермаков С. М. Статистическое моделирование/ С. М. Ермаков, Г. А. Михайлов М.: Наука, 1982.

10. Козлов В. Н. Последовательность квадратурных формул на конкретных функциях/ В. Н. Козлов, М. И. Медведева, А. И. Акимов // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2007. С. 11−13.

11. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов/ В.И.Крылов-М.: Наука, 1967. 500 с.

12. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа/ Л. Д. КудрявцевМ.: Высшая школа, 1981. Т. I, II.

13. ЛюстерникЛ. А. Элементы функционального анализа/ Л.А.Люс-терник, В. И. Соболев М.: Наука, 1965.

14. Медведева М. И. Асимптотика норм функционалов ошибок с пограничным слоем для потенциалов Рисса/ М. И. Медведева // Кубатур-ные формулы и их приложения: Материалы VII Международного семинара-совещания. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. — С. 86−89.

15. Медведева М. И. Квадратурные формулы в пространствах дробных производных Римана—Лиувилля Ь²(а, Ъ)/ М. И. Медведева // Вопросы математического анализа: Сборник научных трудов. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. — Вып. 6. — С. 134−143.

16. Медведева М. И. Асимптотика норм функционалов ошибок с пограничным слоем для потенциалов Рисса/ М. И. Медведева // Вопросы математического анализа: Сборник научных трудов. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. — Вып. 8. — С. 85−98.

17. Медведева М. И. Последовательность квадратурных формул на конкретных функциях/ М. И. Медведева // Кубатурные формулы и их приложения: Труды IX-го международного семинара-совещания. -Уфа": ИМВЦ УНЦ РАН, 2007. С. 85−92.

18. Медведева М. И. О порядке сходимости квадратурных формул на функциях из пространства потенциала Рисса/ М. И. Медведева // V Всесибирский конгресс женщин-математиков: материалы конференции. Красноярск: РИО СФУ, 2008. — С. 298−303.

19. Медведева М. И. О порядке сходимости квадратурных формул на функциях из пространства потенциала Рисса/ М. И. Медведева // Journal of Siberian Federal University. Mathematics &- Physics 2008, № 1(3). — S. 296−307.

20. Медведева М. И. Приближенное вычисление интегралов Рисса/ М. И. Медведева, В. И. Половинкин // Математические труды. 2009. Т. 12. № 2. С. 1−15.

21. Михайлов Г. А. Весовые методы Монте-Карло/ Г. А. Михайлов Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 248 с.

22. МысовскихИ. П. Интерполяционные кубатурные формулы/ И. П. Мысовских М.: Наука, 1981. 336 с.

23. МысовскихИ. 77. О кубатурных формулах, точных для тригонометрических многочленов/ И. П. Мысовских // Докл. АН СССР. 1987. — Т. 296. — № 1. — С. 28−31.

24. Мысовских И. 77. О кубатурных формулах, точных для тригонометрических многочленов/ И. 77. Мысовских // Журн. вычисл. матем. и ма-тем. физики. 1998. Т. 38. — № 7. — С. 1114−1117.

25. МысовскихИ. 77. Лекции по методам вычислеиий/ И. 77. МысовскихСПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 1998.

26. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение/ А. М. НахушевМ.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 272 с.

27. Никольский С. М. Квадратурные формулы/ С. М. Никольский М.: Наука, 1974.

28. Половинкин В. И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случае/. В. И. Половинкин // Математические заметки. 1968. Т. 3. — № 3. С. 319−326.

29. Половинкин В. И. Сходимость последовательностей кубатурных формул с пограничным слоем на конкретных функциях/ В. И. Половинкин // Математический анализ и смежные вопросы математики. — Новосибирск: Наука, 1978. С. 183−191:

30. Половинкин В. И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем/ В. И. Половинкин / / Дисс. докт. физмат. наук. Ленинград, 1979. 240 с.

31. Половинкин В. И. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори/ В. И. Половинкин // Методы вычислений. Л: Изд-во ЛГУ, 1981. — Вып. 12. — С. 7−25.

32. Половинкин В. И. Сходимость квадратурных формул в пространствах дробных производных/ В. И. Половинкин // Кубатурные формулы и их приложения: VI международный семинар-совещание. Уфа: ИМВЦ УфНЦ РАН, БГПУ, 2001. — С. 95−97.

33. Половинкин В. И. Последовательности функционалов с пограничным слоем в пространствах производных Римана—Лиувилля/ В. И. Половинкин // Вопросы математического анализа: Сборник научных трудов. Красноярск: КГТУ. 2001. — Вып. 4. — С. 124−144.

34. Половинкин В. И. Последовательности функционалов с пограничным слоем в пространствах одномерных функций, обладающих дробными производными Римана—Лиувилля/ В. И. Половинкин // Математические труды. 2002. — Т. 5. — № 2. — С. 178−202.

35. Половинкин В. И. Равномерная сходимость кубатурных процессов/ В. И. Половинкин // Вычислительные технологии. 2004. Т. 9. — Спец. выпуск. — С. 111−119.

36. Половинкип В. И. Квадратурные формулы в пространствах функций/ В. И'. Половинкин Красноярск: СФУ, 2007.

37. Прудников А. П. Интегралы и ряды/ А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев М.: Наука, 1981. 800 с.

38. Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования/ М. Д. Рамазанов Уфа: Изд-во БашГУ, 1973. 177 с.

39. Рамазанов М. Д. О порядке сходимости решетчатых кубатурных формул в пространствах с доминирующей производной/ М. Д. Рамазанов // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277. — № 3. — С. 551−553.

40. Рамазанов М. Д. Решетчатые кубатурные формулы могут дать наилучший порядок точности на пространствах с доминирующими производными/ М. Д. Рамазанов // Кубатурные формулы и их приложения. Красноярск: КГТУ, — 1994. — С. 102−113.

41. Рамазанов М. Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем/ М. Д. Рамазанов—Уфа: ИМВЦ УНЦРАН, 2009. 178 с.

42. Самко С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их применения/ С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

43. СевастьяноваН. А. Последовательности функционалов с пограничным слоем для функций, имеющих дробные производные/ H.A. Севастьянова // Кубатурные формулы и их приложения. Уфа: ИМВЦ УфНЦ РАН, 1996. — С. 90−104.

44. СевастьяноваН. А. Последовательности функционалов с пограничным слоем в пространствах функций с дробными производными/ Н. А. Севастьянова // Вопросы математического анализа: Сборникнаучных трудов. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 1997. — Вып. 2. — С. 106 119.

45. Севастьянова Н. А. Приближенное интегрирование функций в пространствах дробных производных/ Н. А. Севастьянова. Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Красноярск, 1997. 114 с.

46. Соболев С. Л.

Введение

в теорию кубатурных формул/ С. Л. Соболев М: Наука, 1974. 808 с.

47. Соболев С. Л. Кубатурные формулы/ С. Л. Соболев, В. Л. ВаскевичНовосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. 484 с.

48. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Ха-ара/ И. М. Соболь М.: Наука, 1969. 214 с.

49. СобольИ. М. Численные методы Монте-Карло/ И. М. Соболь М.: Наука, 1973. 312 с.

50. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций/ И. СтейнМ.: Мир, 1973.

51. Шойноюуров Ц. Б. Кубатурные формулы в пространстве С. JI. Соболева W™? Ц. Б. Шойнжуров Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2002. 202 с.

52. Шойнснсуров Ц. Б. Оценка нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах/ Ц. Б. Шойнжуров Улан-Удэ: Изд-во Бурятского научного центра СО РАН, 2005. 247 с.

53. Das S. Functional Fractional Calculus for System Identification and Controls/ S. Das Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.

54. Hilf er R. Applications of fractional calculus in Physics/ R. Hilf er World Scientific Singapore, 2000. A 91 ft.

55. Miller K. S. An Introduction to Fractional Calculus and Fractional Differential Equations/ K. S. Miller, B. Ross Willey New York, 1993. K S Miller and Ross, An Introduction to Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, 1993.

56. Oldham K. B. The Fractional Calculus (Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order) / K. B. Oldham, J. Spanier N.Y., London: Academic Press, 1974. — 233 p.

57. Vaskevich V. L. Optimal cubature formulas in a reflexive Banach space/ V. L, Vaskevich // Central Europ. J. of Math. 2003. — Vol. 1. — P. 79−85.