О коэффициентах Фурье по системе Хаара

Теория ортогональных рядов является одниг.1 из классических разделов современного анализа. В эгго: л направлении в настоящее время получены Фундаментальные результаты, которые изложены в разных хорошо известных монографиях, учебниках., 0ни находят приложение в самых различных вопросах математики, механики л физики.

Ортонормированная на отрезке 10д! полная в пространстве Ь (ЗЮ, 1~) система функции оила построена А. Ха-аром [32] в 1309 г. Непосредственным поводом, цля этого послужило хорошо известное свойство тригонометрической системы, состоящее в том, что существуют ряды Фурье от непрерывных функций, расходящиеся в отдельных точках. Этот факт был замечен Дю Буа-Реймоном [30]. (Позже А. Н. Колмогоров [341, [35″ ] показал, что существует 25Т-периодпческая функция 7С ЦС0,2³) ряд дурье которой по тригонометрической системе всю, ну расходится- .

Желание выяснить, является ли это свойство общим для всех орт (c)нормированных полных систем, привело Хаара к построению системы Х^с*^ 9 которая обладает тем свойством, что ряд Фурье по этой системе от любой непрерывной функции сходится к ней равномерно. Эта система обладает и рядом других замечательных сеойств. Хотя функции атой системы являются ступенчатыми и её нельзя рассматривать как настоящий базис в пространстве С ([0,1Л) непрерывных функций, однако первый базис е С ([0Л1) был построен именно с помощью этой системы. Это было сделано Фабером [331 в 1910 г. (Хотя определения базиса тогда не было), который показал, что любая непрерывная на отрезке СОДЗ функция единственным образом представляется равномерно сходящимся рядом по системе-1, .

Отметим, что через функции Хаара довольно просто выражаются Функции ортонормированшх систем Радемахера и Уолша, которые были построены несколько позке.

Интерес к системе Хаара значительно возрос в последнее • время в связи с тем, что она оказалась полезной в решении ва. дных вопросовобщей теории ортогональных рядов и нашла приложение в вычислительной математике, теории вероятностей, теории интегрирования и других областях. Инициатором более подробного и глубокого изучения свойств рядов по системе Хаара следует считать П. Л. Ульянова, которому принадлежат многие важные результаты в этой области, а так:?-е постановки многих задач.

В работах ряда авторов были изучены разные свойства простых рядов Фурье по системе Хаара. Что касается кратных рядов Фурье по системе Хаара, то в этом направлении известно сравнительно мало.

Вопросы сходимости рядов Фурье от того или иного класса функций связаны с поведением коэффициентов Фурье этих шункций.

Известно, что для тригонометрической системы скорость убывания коэффициентов Фурье возрастает с увеличением гладкости функций. Не так обстоит дело для системы Хаара^см. [II], стр. 145), состоящей из разрывных Функций. Для этой системы гладкость функции накладывает ограничения на коэффи-тщенти Фурье не только снизу, но и сверху. Файн для системы Уолша доказал, что абсолютно непрерывная функция з 9 имеющая коэффициенты Фурье может быть только тожественно постоянной, (см. [313 сто. 384). Опираясь на теорему Фаина, Б. И. Голубов доказал соответсвующее утверждение для системы Хаара при условии О-що ('01^) и перенёс его так->г.е и на непрерывные функщш (см. [б] стр. 1285, 1295).

С.В.Еочкарёв [3] изучил указанное явление для системы Хаара и вместе с имеющимися в работах [б], [20] оценками сверху получил результаты, которые дают достаточное полное описание поведения коэффициентов Фурье по системе Хаара для различных классов функций.

В этом направлении-вместе с другими ма^магпками продол-:*ал работу и В. Ш. Цагарейшвили (см, [23], 1.24] и [25] 1, который для коэффициентов Фурье по системе Хаара доказал, что а) Если функция оГсп-аГСФои'^), то шхх при я, е1о, 1У б) Существует такая непрерывная на отрезке 10/П функция, что мо^^сп— агсп |=а (2″ ь). но -6 при эсвЦИ, где 0- и Ъ некоторые действительные постоянные.

Диссертационная работа посвящена дальнейшему изучению коэффициентов Фурье по системе Хаара от того или иного класса функции.

Работа состоит из двух глав. В первых параграфах каждой из глав приведены обозначения, определения и известные утверждения, которые используются в последующих параграфах.

В § 1.2 первой главы получены результаты, которые в некотором смысле обобщают теоремы П. Л. Ульянова [20] <, В частности, установлена.

Теорема 1.1. Если измеримая по Лебегу функция 5 такова, что при всех х£ СОДЗ, т.* О.

Теорема 1.2. Если функция?? С ([0,4Л) «то ДДЛ451' (м. и).

Теорема 1.3. Если функция, то г"-и п. су-> 1 и, «о) г.

И-К}.

Теореыа 1.4. Если функция.

ГО ъ I.

1М-1 ъ.

В первой не главе в § I. 3 -Доказаны теоремы, которые в некотором смысле связаны с георемами С. В. Бочкарёва [з]. Приведём характерные из них. ,.

Теорема 1.5. Если для функции 1 производная]£ ЙЦ^ОДЗ) и иль ^ пих {?Ы-ъ ь.

К—1 о где си, а,., ач действительные постоянные и? [ОД].

Теорема 1.8. Пусть для функщш ^ производная) ¿-КЕДП^ и.

— г.

AlYL.

Ь->оО К- 1.

ДгО) тогда, где С1оуа (|ай)-, а^ действительные постоянные и 5сС[ОД].

В § 2.2 второй главы обобщены для функций многих переменных результаты, полученные в § 1.2 первой главы. В частности установлена.

Ъ + Ъъ о.

Теорема 2.1. Если измеримая по Лебегу функция какова, что ЦЪОЦИ при всех х£ 1.0, П^, 20.

Да-гг<�ьД.

2″ Ч^Ч^Ч I.

Соч^ч/" '^*!-).

Теорема 2.2. Если функция, а то.

VI, чн,-,^") / и-м п. — Д. ^ % X X иО V 3) лм-ч).

П1Д +^Л Л Ы.

Теорема 2.3. Если функция го ли' гГмttl I 1.

1=1 еч-^Д'-'Л,''!, со,.1.

Т'1.

Теорема 2Л. Если функция, Кр<�со .1 Л.

VI) >

Результаты диссертационной работы опубликовании (см.

14], ?15] и [16*]) и докладывались на научное оешшаре по теории функций и функционального анализа Тбилисского государственного университета, руководимом членогл-коррес-поццентом АН Республики Грузия, профессором Л.В.&^шашвшш.

В заключении автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, кандидату физико-математических наук, доценту В. Ш. Цагарейшвили за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией".

1 о.

1. Бари ILK. Тригонометрические ряды. М.: Фпзматгиз, Т 031 .

2. Бочкарёв С. Б. О коэффициентах Фурье по системе Хаара. — Матем. сб., 80, J5I, 1969, 97−116.

3. Гаймназаров Г. Об абсолютной сходимости двойных рядов Фурье-Хаара .-Докл. АН Та да. ССР, 14, ??2, 1971, 3−6.

4. Голубов Б. И. О рядах Фурье непрерывных функций по системе Хаара.Изв. АН СССР. Сер. мат. 28, № 8, 1964, I27I-I2SG.

5. Голубов Б. И. Ряды по системе Хаара. 3 сб. «Мат. анадаз',' 1970 (Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР), M.: I97X.

6. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приблпазшгл функций полиномами. М.: Наука,.

7. Жижиашвили Л. В. Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Тбилиси.: ТГУ, 1983.

8. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. т.1 -1.1.: Шр, 19S5.

9. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряди. М.: Наука, 1984.

10. КачмаяС., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. Г-Л.: Физматгиз, 1958.

11. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функции п Функционального анализа. М.: Наука, 1989.

12. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменно-!. — М.: Гостехиздат, 1957.

13. Робакидзе Ы. Г. Коэффициенты Фурье по системе Хаара от абсолютно непрерывных функции. —Сообщ. АН Груз. ССР, 133,1589, 245−247.

14. Робакидзе М. Г. Коэффициенты Фурье по системе Хаара от абсолютно непрерывных функций. Сообщ. АН Грузии, 141, 1991, 257−259.

15. Робакидзе М. Г. О коэффициентах Фурье-Хаара (Ьушший многих переменных. Сообщ. АН Грузии, 143, 12, 1991, 125-Т28.

16. Соболь И. М. Некоторые квадратурьше формулы и шункшш Хаара. 1.1.: Наука. 1939.

17. Тиман А. Ф. Теория приближения функции действительного переменного. ГЛ.: Физматгиз, Т96П. Т9. Ткебучава Г. Е. О кратных рядах Фурье по системе Хаара. -В кн.: Некоторые вопросы теорий функций. тЛ — Тбилиси.: 1979.

18. Ульянов П. Лв 0 рядах по системе Хаара. ГЛатегл. сб., 63, Ш, 1964, 356−391.

19. Ульянов П. Л. Ряды по системе Хаара. Изв. АН СССР, сер. матем., 28, 1984, 925−950.

20. Ульянов П. Л. Об абсолютной и равномерной' сходимости рядов Фурье. Матем.сб., 72, 1*2, 1937, 193−225.

21. Нагарейшвили В. Ш. О рядах по системе Хаара. Сообщ. АН Груз. ССР, 60, № 1, 1970, 37−39.

22. Цагарейтвили В ЛИ. О коэффициентах Фурье-Хаара. Сообщ. АН Груз. ССР, 63, йТ, Т971, 37−39.

23. Цагарейшвили В. HU 0 коэффициентах Фурье-Хаара. -Сообщ, АН Груз. ССР, 81, т., Т976, 29−31.

24. Челидзе В. Г. Некоторые методы сумирования двойшх рядов и двойных интегралов. Тбилиси.: ТГУ, 1977.

25. Яяушаускас А. И. Двойные ряды, Новосибирск": Наука, 19.

26. Янушауокас А. И, Кратные тригонометрические ряды. Новосибирск.: Наука, T9S6.

27. Fine >?, 1. On tfce. ialfui funetions* Tranя. дает, &'&th. Soc., C5, 1949, 372−414.32. ii&ur A" Zur Theorie der orthogonalen Punktioneanyfteme. r i.lath. Ann., 6е), 19Ю, 331−37I.

28. Paber G, Uber die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar. Jahre aber* Deutsch, ?"ath. Verein., 19, I9IO, 104−1X2.

29. Kolmogoroff л.К. U’ne ne^ie de Pou^ier-lebefique divergente presque partout. -Pund. Aath., 4, 1923″ 324−32−1.