Математическое моделирование динамики развития изолированной клеточной популяционной системы

Актуальность. Современные информационные технологии, основанные на использовании методов математического моделирования и методов обработки информации, полученной на основе натурных экспериментов, во многих случаях позволяют получить такое описание процессов функционирования сложной системы, на основании которого возможен анализ дальнейших сценариев ее развития и принятие решения о вмешательстве с целью исключения нежелательных последствий. Так, активно разрабатываются информационные системы медицинского назначения, предназначенные для формализации процесса постановки диагноза при различных заболеваниях и контроля процесса лечения.

Клеточная терапия (трансплантология) — новое быстро развивающееся направление в современной лечебной практике. Одним из перспективных методов клеточной терапии является метод, основанный на использовании стволовых клеток, поскольку эти клетки обладают способностями к самообновлению, плюрипотентности и дифференцировке в различные типы тканей организма. В последнее десятилетие проводятся широкие исследования стволовых клеток с целью изучения механизмов их пролиферации, диффе-ренцировки, а также возможностей применения этих клеток в регенеративной медицине и клеточной терапии [7,8,39,90].

Предназначенные для пересадки клетки получают в нужном количестве путем их культивирования в лабораторных условиях (in vitro), поскольку исходного количества клеток, взятых из организма пациента, недостаточно.

В процессе размножения в силу естественной изменчивости в культуре клеток могут появиться клетки с хромосомными мутациями (аномальные клетки), причем клоны аномальных клеток могут обладать селективным преимуществом по сравнению с нормальными клетками [9, 10,91]. При трансплантации такого материала имеется риск возникновения канцерогенеза (рака) у пациента, поэтому остро встает проблема безопасности при проведении клеточной терапии у широкой категории пациентов [33,38].

Именно соображения безопасности сдерживают в настоящее время широкое применение клеточной терапии. При этом одной из важных проблем, существенно влияющей на безопасность, является проблема разработки критериев «отбраковывания» культур, в которых идет селективное размножение клеток с аномальными хромосомными наборами (клонообразование) с подавлением развития нормальных клеток. Клонообразование аномальных клеток может начинаться с ранних пассажей (посевов), но с ростом времени культивирования увеличивается вероятность их возникновения.

Выращивание культуры клеток in vitro является дорогой и длительной процедурой. Выявление клонообразующей популяции аномальных клеток непосредственно лабораторными методами трудоемко, а его результаты не всегда соответствуют действительности [9,10]. Стандартные методики отбраковки аномальных клеток на ранних стадиях культивирования клеточной популяции в настоящее время отсутствуют. Методики определения возможных сценариев развития клеточной популяции также не разработаны [38].

Выявление факта преобладания аномальных клеток на поздних стадиях выращивания ведет к необходимости повторения процесса, что связано со значительным увеличением материальных и временных затрат и, что самое важное, к увеличению времени ожидания операции, а задержка операции трансплантации может нести опасность для жизни пациента. Поэтому возникает необходимость использования методов системного анализа для исследования процессов клонообразования, а также методов математического моделирования и обработки информации для прогнозирования возможной динамики размножения аномальных клеток в культуре стволовых клеток человека [12−14].

Для отбраковки культуры клеток на ранних стадиях развития возможно использование современных информационных технологий, основанных на методах математического моделирования, методах параметрической идентификации моделей на ограниченных выборках экспериментальных данных о значениях вектора состояния изучаемой системы и статистических методах. Для решения указанной задачи необходимо адаптировать к особенностям создаваемых математических моделей известные алгоритмы параметрической идентификации моделей на ограниченных выборках, а также найти законы распределения оценок параметров моделей.

Использование методов математического моделирования в биологии и медицине получает все более широкое распространение [43,45]. Здесь можно выделить различные модели межвидовой конкуренции в биологии, модели различных заболеваний человека или процессов, происходящих в организме. Широко применяются методы системного анализа и математического моделирования при качественном исследовании процессов, происходящих в организме человека при онкологических заболеваниях (раке). Среди известных моделей можно отметить различные модели роста опухолей, учитывающие иммунный ответ организма и воздействие химиотерапии [59,67,75,81,82,84]. Наличие таких моделей позволяет лучше понять природу исследуемых явлений и выработать рекомендации по лечению. Известны также модели развития клеточных популяций и популяций микроорганизмов, ориентированные на оценку влияния среды на рост популяции [44].

Необходимость проведения широких фундаментальных исследований стволовых клеток для тканевой инженерии, а также системного анализа процессов развития различных клеточных популяций и построения их математических моделей подчеркивается многими авторами [65,77,86]. Объектами исследования являются различные процессы в самой клетке, такие как пролиферация, дифференциация и смерть клетки [59,63,71,72,93,95], процессы функционирования клеток различной природы в организме человека [2,66,68,79,83], а также процессы взаимодействия клеток организма и лекарственных средств [60,84].

С использованием методов математического моделирования исследуется работа биореакторов, предназначенных для выращивания клеточных популяций, в том числе на каркасах [70,85,92]. Однако в этом семействе моделей изучается характер движения жидкости в рабочей полости, вихревые процессы и другие явления, характерные для инженерного анализа конструкции биореакторов. Известны результаты, касающиеся анализа и математического моделирования процесса кроветворения, процесса роста тканей организма, а также процесса взаимодействия тканей организма с имплантатом [55,57,76].

Анализ развития различных клеточных популяций [56,58,59,63,73,85,93] как правило проводится методами стохастического моделирования, что не позволяет проводить параметрический анализ.

Исключение составляет работа [81], где рассматриваются две популяции клеток, нормальных и раковых, причем клетки второй популяции обладают селективным преимуществом. В указанной работе представлена простейшая линейная нестационарная одномерная модель динамики численности популяции нормальных клеток, учитывающая изменение частоты деления клеток во времени. Модель учитывает вероятности перерождения нормальных клеток в раковые, но при этом не рассматривается параллельный рост клонообразующей популяции раковых клеток и межпопуляционное взаимодействие.

Отметим, что исследования [54,56,74], направленные на системный анализ процессов развития клеточной популяции и математическое моделирование ее динамики в лабораторных условиях, не учитывают возможность возникновения и развития хромосомных аномалий, и как следствие — развитие клонообразующей популяции аномальных клеток.

Таким образом, частью иследований по обеспечению безопасности при проведении терапии стволовыми клетками является анализ факторов, определяющих развитие изолированной клеточной популяционной системы, состоящей из нормальных и аномальных клеток, и разработка математических моделей, позволяющих провести параметрическое исследование и получить описание основных сценариев развития указанной системы.

Для анализа возможных сценариев развития конкретной клеточной популяционной системы необходимо получить оценки параметров модели. Методы параметрической идентификации математической модели, позволяющие получить оценки параметров модели с использованием достаточно малых массивов измерений, в настоящее время известны [21,22,25], однако для конкретных моделей необходима их доработка и адаптация с учетом особенностей этих моделей.

Знание теоретических законов распределения, а также точечных и интервальных оценок для параметров модели позволяет методами математического моделирования получить оценки вероятностей реализации различных сценариев дальнейшего развития изучаемой клеточной популяционной системы. Эти оценки могут использоваться для принятия решения о воздействии на процесс развитие указанной системы или о прекращении культивирования.

Один из подходов к получению законов распределения оценок параметров математических моделей базируется на байесовском подходе и теории инвариантности Джеффриса [64]. Указанный подход активно применяется в задачах параметрической идентификации математических моделей экономических процессов [30]. Распространение указанного подхода на модели процессов, протекающих в биологических системах, должно позволить получить информацию, требуемую для оценки вероятностей реализации различных сценариев развития популяционной системы.

Основная цель исследований состоит в проведении системного анализа процесса развития изолированной клеточной популяционной системы в лабораторных условиях, разработке математических моделей функционирования этой системы и решении задачи их параметрической идентификации на ограниченных выборках экспериментальных данных.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач: проведение системного анализа процесса развития изолированной клеточной популяции в лабораторных условиях и выявление его основных «механизмов" — построение математических моделей динамики развития изолированной клеточной популяционной системы в лабораторных условияхпараметрический анализ разработанных моделей с привлечением аналитических и численных методовразработка алгоритма идентификации параметров моделей по ограниченным массивам данных наблюденийтеоретический анализ законов распределения оценок параметров моделиполучение точечных и интервальных оценок для параметров математических моделей развития популяции.

Методы исследования. При решении задач, возникших в ходе выполнения диссертационной работы, использовались различные классы математических методов: системного анализа, теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, теории вероятностей и математической статистики.

Научная новизна. В диссертации получены следующие научные результаты, которые выносятся на защиту.

1. Линейная математическая модель развития взаимодействующих клеточных популяций нормальных и аномальных стволовых клеток при стандартных лабораторных условиях культивирования при отсутствии конкуренции за ресурсы.

2. Нелинейная математическая модель развития взаимодействующих клеточных популяций нормальных и аномальных стволовых клеток в лабораторных условиях, учитывающая ограничения на ресурсы.

3. Условия существования положений равновесия нелинейной модели, зависимости их характера от параметров модели.

4. Теоретические функции плотности распределения вероятностей параметров линейной и нелинейной математических моделей, полученные на основе байесовского подхода и теории инвариантности Джеффриса.

5. Маргинальные функции плотности распределения вероятностей параметров математической модели, интервальные оценки этих параметров.

Достоверность результатов подтверждена строгими доказательствами и результатами математического моделирования. Результаты диссертационной работы согласуются с известными результатами других авторов.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что разработанные математические модели позволяют провести качественный анализ возможных сценариев развития клеточных популяций и могут быть использованы для анализа последствий различных внешних воздействий на развитие клеточных популяций.

Теоретические результаты доведены до конструктивных методов, позволяющих для разработанных математических моделей получать точечные и интервальные оценки параметров разработанных моделей. Указанные оценки могут быть использованы для анализа вероятностей реализации различных сценариев развития клеточных популяций.

Апробация результатов работы. Результаты работы докладывались на 18-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2011), VIII Международной конференции «Молекулярная генетика соматических клеток» (Звенигород, 2011), научном семинаре кафедры «Математическое моделирование» МГТУ им. Н. Э. Баумана.

Диссертация является составной частью фундаментальных исследований, проводимых в рамках грантов грантов РФФИ № 09−04−948, № 1007−468, № 12−07−329, № 13−07−720 и проекта 2.1.1/227 аналитической ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы на 2009;2011 гг.».

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 научных статьях [11,13−17], которые включены в Перечень ведущих научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертации, рекомендованных ВАК РФ, и 2 тезисах конференций [18,19]. Общий объем 5,56 п.л.

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертации, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных работ в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 128 страницах и содержит 25 иллюстрации. Библиография включает 95 наименований.

Основные результаты диссертационной работы.

В диссертации получены следующие результаты:

1. Разработана и исследована линейная модель развития клеточных популяций нормальных и аномальных клеток при культивировании в стандартных лабораторных условиях, отражающая поведение клеточных популяций при отсутствии ограничений на ресурсы.

2. Разработана и исследована нелинейная модель, предназначенная для моделирования динамики развития клеточной популяционной системы в условиях ограниченных ресурсов.

3. На основе баесовского подхода при ограниченных выборках экспериментальных данных получены совместные апостериорные функции плотности распределения вероятностей параметров предложенных математических моделей, а также маргинальные плотности распределения вероятностей этих параметров.

4. Получены интервальные оценки для параметров моделей с использованием найденных маргинальных функций плотности распределения вероятностей.

5. Разработана методика использования точечных оценок параметров линейной модели и законов распределения параметров для анализа возможных сценариев развития изолированной популяционной системы.