2.2 Обобщенное уравнение Гарднера с учетом слагаемых второго порядка малости.63.
2.3 Нелинейная волновая динамика в рамках обобщенного уравнения Гарднера.67.
2.3.1 у.е.диненные волны уравнения Гарднера второго порядка 68.
2.3.2 Трансформация начального импульса большой амплитуды 72.
2.3.3 Взаимодействие уединенных волн. .74.
2.4 Нелинейная динамика волн в рамках уравнения Кортевега де Вриза с модифицированным законом дисперсии.75.
2.5 Заключение 80.
Глава 3. Дисперсионная и нелинейная фокусировка волновых пакетов на поверхности океана.
3.1 Введение 82.
3.2 Нелинейная модель двумерных поверхностных волн.
Дэви — Стюартсона86.
3.3 Одномерная нелинейно-дисперсионная фокусировка волн 88.
3.3.1 Одномерная линейная фокусировка группы волн с гауссовым профилем огибающей .90.
3.3.2 Нелинейная фокусировка цуга волн. 91.
3.3.2.1 Анализ волнового поля, ведущего к формированию большой волны, с помощью метода обратной задачи рассеяния.91.
3.3.2.2 Точные решения нелинейного уравнения Шредингера, описывающие локализованную волну на пьедестале. Взаимодействие солитона огибающей и плоской волны 96.
3.3.3 Конкуренция механизмов модуляционной и дисперсионной группировки волн.101.
3.4 Двумерная фокусировка волн. .102.
3.4.1 Диаграмма модуляционной неустойчивости в рамках системы Дэви — Стюартсона .103.
3.4.2 Дисперсионная фокусировка волн и рождение аномально больших волн в результате развития модуляционной неустойчивости.106.
3.5 Заключение 112.
Заключение
114.
Приложение А. Схема АКНС обратной задачи рассеяния для уравнений Кортевегаде Вриза, его модифицированного варианта, уравнения Гарднера и нелинейного уравнения Шредингера. Доказательство эквивалентности двух подходов к интегрированию уравнения Гарднера. .117.
Приложение Б. Условие, разделяющее сценарии обменного и обгонного взаимодействия солитонов в рамках уравнения Гарднера с отрицательной кубической нелинейностью.125.
Приложение В. Коэффициенты обобщенного уравнения Гарднера для двухслойной жидкости 127.
Приложение Г. Численная схема и условия двумерного численного моделирования системы Дэви — Стюартсона. .129.
Таблицы и рисунки 132.
Библиографический список 199.
Волновое движение в океане является предметом постоянного изучения, продолжая оставаться сложным объектом для объяснения и прогнозирования. Непростая волновая динамика обусловливается особенностями рельефа дна и береговой линии, течениями, ветром, стратификацией, связанной с неоднородной соленостью и прогревом водной толщи. Разработка модели для детального описания динамики океана является очень сложной задачей. Но полезными для понимания и иногда достаточными для описания основных характеристик волнового волнения оказываются упрощенные физические модели, учитывающие наиболее существенные для конкретной проблемы физические эффекты. Естественно, что в первую очередь важно понимание интенсивных волн, содержащих значительную энергию. Это в равной степени относится как к поверхностным волнам, так и внутренним. Большой интерес представляют локализованные волны большой амплитуды, которые выделяются на фоне окружающих волн, и можно говорить об их собственной динамике. В силу нелинейных эффектов их поведение может быть достаточно сложным. Проблеме локализованных внутренних и поверхностных волн большой амплитуды в океане и будет посвящено настоящее диссертационное исследование.
Внутренние волны имеют большое значение для подводной навигации и связи, устойчивости конструкций, расположенных в открытом море. Интенсивные внутренние волны наблюдались неоднократно [Монин и др. 1974, Миропольский 1981, Ostrovsky & Stepanyants 1989], их амплитуды могут превышать сотни метров. Благодаря ним возможен мониторинг внутренних океанических движений океана из космоса (см. рис. 1). Уединенные волны, распространяющиеся на большие расстояния при слабом изменении формы и заключающейся в них энергии, отмечались многими исследователями (см. рис. 1 и 2 для примера), они являются важными объектами динамики внутренних волн и соответствуют со лито нам в математической модели. Области с резкими скачками пикноклинов, сравнимыми с глубиной, зачастую присутствуют на таких регистрациях (см. рис. 2), что говорит о важности учета нелинейности. Известной популярной моделью для описания длинных слабо нелинейных волн является уравнение Кортевега — де Вриза, полученное еще в конце XIX века. Интерес к нему был подкреплен решением этого уравнения с помощью метода обратной задачи рассеяния [Gardner et al 1967]. Вместе с другими найденными позднее уравнениями оно составляет важный класс интегрируемых моделей. Уравнение Кортевега — де Вриза получается в первом порядке теории возмущений по малой амплитуде волны и слабой длинноволновой дисперсии и применимо для описания поверхностных и внутренних волн в океане, а также волновых движений в атмосфере, плазме и астрофизике, нелинейных линиях передач (см., например, [Лэм 1983, Рабинович & Трубецков 1984, Абловиц & Сигур 1987]). Уравнение Кортевега — де Вриза было получено рядом авторов для внутренних волн в стратифицированном океане [Веппеу 1966, Lee & Beardsley 1974, Леонов 1976, Пелиновский и др. 1977, Lamb & Yan 1996, Пелиновский и др. 2000а, Grimshaw et al 2002Ь]. Его преимущество заключается в понижении размерности задачи: горизонтальное движение длинных волн подчиняется эволюционному уравнению, а в поперечном направлении волна описывается модовой структурой.
В отличие от случая поверхностных волн, сложная плотностная стратификация и наличие сдвиговых течений обеспечивают сильную вариацию коэффициентов в уравнении Кортевега — де Вриза при описании внутренних волн в океане. Так, коэффициент квадратичной нелинейности может обращаться в ноль и менять знак при движении волн в шельфовой зоне. Тогда для учета нелинейных эффектов необходимо рассматривать поправки высших порядков. Для этого в эволюционном уравнении удерживается дополнительное слагаемое кубической нелинейности [Kakutani & Yamasaki 1978]. В диссертационной работе проведено исследование как раз такого случая, когда за счет особенностей стратификации обычный для внутренних волн квадратичный закон нелинейности замещается на более сложный, включающий кубическую нелинейность, при этом остальными членами второго порядка малости можно пренебречь. Подобное обобщенное уравнение иногда называют уравнением Гарднера. Когда слагаемые квадратичной и кубической нелинейности оказываются одного порядка, изменяется схема асимптотического вывода уравнениятакой случай соответствует волнам большой амплитуды, хотя нелинейные слагаемые в уравнении должны оставаться малыми. По сравнению с классическим уравнением КдВ в рамках уравнения Гарднера изменяется форма волн (наиболее известным результатом проявления сильной нелинейности внутренних волн является «широкий» солитон), возникают новые эффекты в их динамике, как будет показано в настоящем исследовании. Описание внутренних волн с помощью уравнения Гарднера качественно отличается от случая поверхностных волн (например, [Егоров 1986]), так как в последнем слагаемое кубической нелинейности всегда остается в следующем порядке малости по сравнению с квадратичной нелинейностью. В данном исследовании будет изучена динамика локализованных волн в рамках уравнения Гарднера (солитонов и нелинейных волновых пакетов — бризеров), рассмотрено влияние поправок высших порядков малости на волновое поведение, обсуждены асимптотические преобразования, с помощью которых эволюционная модель может быть улучшена.
Кроме долгоживущих волн в диссертации исследуются интенсивные волны, возникающие на короткое время в результате процессов пространственно-временной фокусировки. Интерес к фокусировке волн в океане особенно обострился в последнее время в связи с возможным приложением к проблеме аномально больших волн на поверхности океана (волн-убийц). Возникновение необычно больших волн наблюдалось неоднократно (в Таблице 1 перечислены публикации свидетельств, собранные из различных источников), число их регистрации растет. Работы [Sand et al 1990, Lavrenov 1998, Haver & Andersen 2000, Mori et al 2002] содержат значительное число описаний подобных событий. Явление волны-убийцы заключается в неожиданном возникновении одной или нескольких больших волн зачастую в условиях относительно спокойного моря. Их появлению ничто не предшествуетрезко возникающие и исчезающие большие волны становились причиной повреждений судов и океанических платформ, гибели людей и кораблей. На рис. 3 приведены записи волнового волнения, взятые из [Sand et al 1990], а на рис. 4 дана запись волны, обрушившийся на нефтедобывающую платформу Draupner в Северном море (Норвегия) 1 января 1995 г. Внезапно возникающие на короткое время интенсивные волны с высотой, превышающей характерную высоту окружающих волн более чем в 2 раза, и определяются как аномально большие волны. Они хорошо видны на рис. 3 и 4. В Таблице 2 приведены данные других регистраций подобных волн, взятые из [Sand et al 1990]. Появление больших волн на поверхности моря соответствует редким событиям, расположенным в хвосте функции распределения амплитуд волн, и, в принципе, не противоречит функции распределения типа гауссовой. Однако, участившиеся случаи регистрации подобных явлений вызвали сомнение в верном статистическом описании этих случаев, и огромный интерес к пониманию механизмов их формирования. Попытки объяснения аномально больших волн предпринимались достаточно давно (например, [Sand et al 1990]), и были предложены различные теории, часто основанные на учете влияния на распространение волн внешних сил (течений), вызывающих локальное усиление волны [Lavrenov 1998, White & Fornberg 1998]. Собранные к настоящему времени свидетельства, по-видимому, говорят о независимости района возникновения аномально больших волн от наличия течений или специфических глубин (см., например, [Sand et al 1990]). В связи с этим интересным является описание волн аномально большой амплитуды в рамках свободных эволюционных моделей для волн в океане, что и является предметом настоящей работы.
Дисперсионное сжатие в линейной среде является известным механизмом усиления волн. В работе [Pelinovsky et al 2000] дисперсионная группировка волнового пакета была рассмотрена в условиях нелинейной среды с помощью уравнения Кортевега — де Вриза. Этот процесс оказался почти линейным, а нелинейные структуры типа солитонов не играли в нем принципиальной роли. Описание динамики волновых пакетов естественно проводить для их огибающей. Так, слабо модулированные волновые пакеты в рамках уравнения КдВ описываются дефокусирующим нелинейным уравнением Шредингера (НУШ). В зависимости от условий распространения (глубины, стратификации) одномерные слабо модулированные поверхностные и внутренние волны в океане могут описываться как фокусирующим, так и дефокусирующим типами НУШ. Особый интерес вызывает случай, когда в среде присутствует нелинейная фокусирующая неустойчивость, которая сама может вести к укручению волны. Так как одномерные волны неустойчивы относительно поперечных возмущений на глубокой воде [Захаров & Рубенчик 1973], то исследование должно быть расширено на случай двумерного поверхностного движения в рамках модели Дэви — Стюартсона, справедливой для описания слабо нелинейных слабо модулированных поверхностных волновых пакетов в море произвольной постоянной глубины. В пределе мелкой воды система Дэви — Стюартсона описывает группы волн в рамках уравнения Кадомцева — Петвиашвили.
Актуальность работы.
Настоящее исследование посвящено динамике локализованных внутренних и поверхностных волн большой амплитуды и механизмам фокусировки волновой энергии, ведущим к быстрому образованию локализованных волн аномально большой амплитуды. Решение этих проблем необходимо для разработки прогностических моделей океанических волн, интерпретации наблюдаемых явлений и оценки воздействия волн на берега и сооружения, что и обеспечивает актуальность диссертационной работы.
Цели диссертационной работы.
1. Исследовать нелинейную динамику локализованных внутренних волн большой амплитуды в рамках модели Гарднера, когда квадратичная нелинейность оказывается одного порядка с кубической нелинейностью.
2. Определить применимость модели Гарднера для описания внутренних волн в океане, исследовать обобщения моделей Кортевега — де Вриза и Гарднера с учетом членов второго порядка малости и модификации, получаемые с помощью асимптотических преобразований.
3. Исследовать процесс формирования трехмерной волны аномально большой амплитуды на поверхности океана за счет эффектов дисперсионного сжатия и модуляционной неустойчивости в рамках модели Дэви — Стюартсона. Произвести сравнительный анализ этих механизмов и определить особенности динамики волн, в том числе при наличии случайного поля ветровых волн.
Научная новизна результатов.
1. Выполнено исследование динамики локализованных волн в рамках уравнения Гарднера для обоих качественно отличных случаев знаков кубической нелинейности. С помощью преобразований Дарбу получены аналитические решения, соответствующие двум солитонам и нелинейному волновому пакету (бризеру), На их основе изучено взаимодействие локализованных волн в рамках уравнения Гарднера. В случае отрицательной кубической нелинейности аналитически и численно обнаружен эффект пробега солитона по хребту широкого солитона.
2. Исследована начальная задача (задача Коши) для уравнения Гарднера (импульсные возмущения). В случае отрицательной кубической нелинейности обнаружен эффект образования двух цугов разнополярных солитонов на начальной стадии разрушения импульсного возмущения большой амплитуды. Показано, что в рамках метода обратной задачи рассеяния прямоугольному возмущению соответствует особое решение спектральной задачи, тем самым объяснены расчеты Майлса [Miles 1981], когда из интенсивного начального возмущения зарождался только один широкий солитон. В случае положительной кубической нелинейности продемонстрировано, что из импульсного возмущения одной полярности могут рождаться одиночные солитоны, пары разнополярных солитонов и бризеры.
3. Исследована динамика уравнения с улучшенным по сравнению с уравнением Кортевега — де Вриза законом дисперсии (отсутствие отрицательных фазовых скоростей). Показано, что обе модели эквивалентны в рамках приближений асимптотической теории длинных слабонелинейных волн, но вне их обладают различными эффектами в поведении волн (в частности, возникновение солитонов обратной полярности из возмущения одного знака, формирование разрывов).
4. Модифицирована асимптотическая процедура вывода эволюционного уравнения для уравнения Гарднера. Получено уравнение Гарднера второго порядка, не содержащее нефизичное излучение вперед (которое часто возникает в обобщенных уравнениях). Исследована его нелинейная волновая динамика и отличия, связанные с учетом поправок высшего порядка.
5. Получено аналитическое решение кубического фокусирующего уравнения Шредингера, представляющее собой движущееся локализованное возмущение плоской волны. С его помощью описан процесс столкновения солитона огибающей с отрезком плоской монохроматической волны и проанализирована промежуточная стадия разрушения начального импульсного возмущения, когда волны сплошного спектра значительны. Для проведения этого исследования спектральные данные интегрируемой модели интерпретировались в зависимости от фоновой волны.
6. Изучено формирование волн аномально большой амплитуды за счет одномерного дисперсионного сжатия волнового пакета с учетом нелинейности среды. Получено, что процесс дисперсионного сжатия не разрушается при введении нелинейности, а лишь модифицируется. В рамках фокусирующего уравнения Шредингера показано, что фокусировка волнового пакета в результате дисперсионного сжатия ведет к образованию более локализованной волны большей амплитуды, нежели за счет процесса модуляционной неустойчивости.
7. Исследованы процессы двумерной фокусировки волн на поверхности океана конечной глубины (модель Дэви — Стюартсона) в результате дисперсионного сжатия и развития модуляционной неустойчивости. Показано, что эффект дисперсионного сжатия может быть сильным даже при наложении случайного шумового волнового ноля. В то же время подтвержден результат [Osborne et al 2000] о возможности формирования волны аномально большой амплитуды за счет действия только эффектов модуляционной неустойчивости, однако найдено, что такой процесс чрезвычайно чувствителен к малым возмущениям начальных условий.
Научная и практическая ценность работы.
Основные научные и практические приложения диссертации связаны с описанием внутренних и поверхностных волн в океане. Диссертационная работа развивает классическую модель Кортевега — де Вриза для описания внутренних морских волн. Обсуждаются ее модификации с включением одного и нескольких членов высших порядков малости, с улучшенным законом дисперсии, с повышенным числом сохраняющихся интегралов. Такое исследование важно для создания прогностической модели интенсивных внутренних волн. Уравнение Гарднера предлагается как универсальная модель для слабонелинейных внутренних волн на шельфе с учетом реальной изменчивости гидрологии прибрежной зоны.
Сделанное в работе исследование процессов дисперсионной и нелинейной фокусировки волн с формированием сильно локализованных интенсивных волн имеет большое теоретическое и практическое значение для объяснения природы и свойств воли-убийц.
Полученные результаты представлялись на международных геофизических конференциях и опубликованы в ведущих научных отечественных и международных журналах.
Настоящее исследование проведено на основе популярных уравнений: Кортевега — де Вриза, его модифицированного варианта, обобщений с учетом членов второго порядка малости, одномерного и двумерного нелинейного уравнения Шредингера, системы Дэви — Стюартсона, что обеспечивает возможность применения полученных результатов и в других областях физики (теория плазмы, нелинейная оптика и др.). Многие результаты интересны с точки зрения математической физики и теории нелинейных волн.
Апробация работы.
Большая часть результатов данной работы докладывалась на генеральных ассамблеях Европейского Геофизического Общества (Ницца, Франция, 1998, 2000, 2001, 2002), генеральной ассамблее Международного Геодезического и Геофизического Союза (1999), международных конференциях «Solitons, Collapses and Turbulence» (Москва, 1999, 2002), «Progress in Nonlinear Science» (Н.Новгород, 2001), «Производство, технология, экология — образование в технических университетах на пороге XXI века» (Москва, 1999), совместной ежегодной конференции Австралийского и Американского математических обществ (Мельбурн, Австралия, 1999), международных симпозиумах «Jonsmod/Medmod 2000» (Тулон, Франция, 2000) и «Rogue waves'2000» (Брест, Франция, 2000), сессиях Научного Совета РАН по нелинейной динамике (Москва, 1998, 2001), нижегородских сессиях молодых ученых (Н. Новгород, 1999, 2002), Всероссийской научной школе «Нелинейные волны — 2002» (Н. Новгород, 2002), семинарах ННГУ и ИПФ РАН.
Публикации.
Список основных работ, но теме диссертации включает 18 наименований:
1. Pelinovsky Е., Talipova Т., Slunyaev A., Grimshaw R., Holloway P. Variable-coefficient rotation-modified extended Korteweg — de Vries equation for oceanic internal waves // Annales Geophysicae. Suppl. IV to Vol. 16 Part IV Nonlinear Geophysics & Natural Hazards. 1998. С. 1128.
2. Пелиновский E.H., Слюняев A.B. Генерация и взаимодействие солитонов большой амплитуды // Письма вЖЭТФ. Т. 67. 1998. С. 628−633.
3. Слюняев А. В., Пелиновский Е. Н. Динамика солитонов большой амплитуды // ЖЭТФ. Т. 116. 1999. С. 318−335.
4. Talipova Т., Pelinovsky Е., Sherwin Т., Jeans G., Slunyaev A. Nonlinear dynamics of large-amplitude internal solitary waves // Abstracts of General Assembly of the Int. Union of Geodesy and Geophysics. 1999. P. В109.
5. Слюняев А., Франсиус M. Эволюционные модели высоких порядков для длинных волн большой амплитуды // Изв. Академии инэюеиерных наук РФ. Т. 1. 2000. С. 193−200.
6. Slunyaev A., Pelinovsky Е. The dynamics of solitary waves and breathers in the Gardner equation // Geoph. Research Abstracts (XXV EGS General Assembly). V. 2. 2000. P. 633.
7. Pelinovsky E., Kharif C., Talipova Т., Slunyaev A. Nonlinear wave focussing as a mechanism for the freak wave generation in the ocean // Proceedings of the Workshop «Rogue Waves 2000» (Brest, France, Nov. 29−30, 2000) (Ed. M. Olagnon and G.A. Athanassoulis). 2000. P. 193−204.
8. Слюняев А. В. Динамика локализованных волн большой амплитуды в слабодиспергирующей среде с квадратичной и положительной кубической нелинейностью // ЖЭТФ. Т. 119. 2001. С. 606−612.
9. Слюняев А. В. Начальная задача для модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза на пьедестале: рождение солитонов и бризеров // Изв. Академии инженерных наук РФ. Т. 2. 2001. С. 166−175.
10. Francius М., Pelinovsky Е., Slunyaev A. Wave dynamics in nonlinear media with two dispersionless limits for long and short waves // Physics Letters A. V. 280. 2001. P. 53−57.
11. Kharif C., Pelinovsky E., Talipova Т., Slunyaev A. Focusing of nonlinear wave groups in deep water // Письма в ЖЭТФ. Т. 73. 2001. С. 190−195.
12. Pelinovsky Е., Talipova Т., Slunyaev A., Kokorina A., Kharif С. Ocean rogue wave phenomenon as nonlinear-dispersive wave focusing // Труды межд. конф. «Progress m Nonlinear Science». 2001. P. 179−188.
13. Francius M., Pelinovsky E., Slunyaev A. Wave dynamics in nonlinear media with two dispersionless limits for long and short waves // Geophysical Research Abstracts (XXVI EGS General Assembly). V. 3. 2001. P. 8083.
14. Kharif Ch., Pelinovsky E., Talipova Т., Slunyaev A. Influence of frequency modulation on the Benjamin — Feir instability // Geophysical Research Abstracts (XXVI EGS General Assembly). V. 3. 2001. P. 8090.
15. Pelinovsky E., Talipova Т., Slunyaev A., Kokorina A., Kurkin A., Kharif C. Freak wave generation in the random shallow sea // Geophysical Research Abstracts (XXVII EGS General Assembly). V. 4. 2002. 02-A-309.
16. Slunyaev A., Kharif C., Pelinovsky E., Talipova T. Nonlinear wave focusing on water of finite depth // Physica D. V. 173. 2002. P. 77−96.
17. Grimshaw R., Pelinovsky D., Pelinovsky E., Slunyaev A. The generation of large-amplitude solitons from an initial disturbance in the extended Korteweg-de Vries equation // Chaos. 2002. Принято к печати. Preprint 02−35 of Loughborough Univ. 18 p.
18. Полухина O.E., Пелиновский E.H., Слюняев A.B. Обобщенное уравнение Гарднера для внутренних волн в стратифицированной жидкости // Препринт. ИПФ РАН № 606. 2002. 28 с.
Личный вклад автора.
Постановка задачи в публикациях [2, 3, 6] принадлежит научному руководителю Е. Н. Пелиновскому (случай отрицательной кубической нелинейности в уравнении Гарднера). Основные результаты получены диссертантом при активном обсуждении с Е. Н. Пелиновским. Исследование было продолжено самостоятельно в [8] для случая положительной кубической нелинейности уравнения Гарднера. Работы [1, 4] выполнены в составе большого авторского коллектива, вклад диссертанта заключался в результатах, касающихся динамики локализованных волн большой амплитуды в рамках уравнения Гарднера. Работа [5] выполнена диссертантом при участии аспиранта Средиземноморского Университета (Марсель, Франция) М. Франсиуса (Marc Francius). Идея для публикаций [10, 13] была высказана Е. Н. Пелиновским, далее исследование выполнялось при участии М. Франсиуса (численное моделирование). Исследование волн-убийц [7, 11, 12, 14, 15, 16] выполнено, главным образом, совместно с профессором Средиземноморского Университета К. Харифом (Christian Kharif), Е. Н. Пелиновским и с.н.с. ИПФ РАН к.ф.-м.н. Т. Г. Талиповой. Вклад диссертанта заключался в анализе спектральной проблемы нелинейного уравнения Шредингера, численном моделировании системы Дэви — Стюартсона и интерпретации результатов. Работа [17] выполнена в большом коллективе, роль диссертанта заключалась в нахождении и анализе решения спектральной задачи уравнения Гарднера для импульсного возмущения и решении спектральной задачи для гладких профилей (численно). При написании [18] совместно с аспиранткой Нижегородского государственного технического университета О. Е. Полухиной и Е. Н. Пелиновским вклад диссертанта заключался в аналитическом исследовании полученных обобщенных уравнений и интерпретации результатов. Публикация [9] подготовлена полностью самостоятельно.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. С помощью преобразований Дарбу найдены двухсолитонные и бризерное решения уравнения Гарднера, описывающего длинные слабо нелинейные внутренние волны в океане (его коэффициенты определяются стратификацией плотности и течений) — исследованы различные режимы взаимодействия солитонов. Описан эффект прохождения солитона по хребту другого — широкого — солитона с изменением полярности (он был позднее подтвержден в рамках полнонелинейной модели Миаты). Найдено «непредсказуемое» поведение волны при взаимодействии разнополярных солитонов с малыми скоростями.
2. В рамках уравнения Гарднера показано, что при эволюции импульсного возмущения запредельной амплитуды в случае отрицательной кубической нелинейности широкий солитон играет роль пьедестала для формирующегося цуга мелких солитонов. Прямоугольный профиль начального возмущения демонстрирует вырожденное решение начальной задачи. Учет отрицательной кубической нелинейности при моделировании трансформации внутреннего бора на океаническом шельфе приводит к уменьшению амплитуд и скоростей уединенных волн, а также изменению их формы. В случае положительной кубической нелинейности эволюция импульсного возмущения может вести к формированию одиночных солитонов, пар солитонов разного знака и бризеров.
3. Обобщенное уравнение Гарднера с учетом поправок следующего порядка малости сведено с помощью асимптотического преобразования поля к уравнению Гарднера с добавочными нелинейными членами (уравнение Гарднера второго порядка). В рамках этой модели предельные амплитуды и скорости широких солитонов становятся больше по сравнению с классическим уравнением Гарднера. Новое уравнение оказывается неинтегрируемым и демонстрирует неупругий характер столкновения солитонов, возникновение дополнительных слабо энергетичных солитонов.
4. Исследована волновая динамика в рамках уравнения Кортевега — де Вриза с улучшенной дисперсионной зависимостью для волн на воде, имеющей бездисперсионные пределы длинных и коротких волн. Такая модель демонстрирует генерацию солитонов различной полярности, в том числе, их образование из возмущения одной полярности.
5. Проблема формирования аномально больших волн на поверхности океана исследована в одномерном случае в приближении нелинейного уравнения Шредингера с помощью его инвариантного преобразования и метода обратной задачи рассеяния для начального импульсного двухлараметрического возмущения. Найдено, что формирование аномально большой волны есть слабо нелинейный процесс, когда в группирующемся цуге волн содержится не более одного солитона огибающей. Задача столкновения солитона с отрезком плоской волны исследована с помощью полученного аналитического решения нелинейного уравнения Шредингера, соответствующего локализованному возмущению огибающей плоской волны. При таком столкновении солитон огибающей перестраивается в локализованное возмущение плоской волны, а потом снова восстанавливаел свою форму. При этом имеет место линейная суперпозиция их собственных амплитуд.
6. В рамках двумерной модели Дэви — Стюартсона для нелинейных слабо модулированных волн на поверхности океана конечной глубины показано, что формирование аномально больших волн может быть результатом нелинейной эволюции гладкого волнового поля, однако резкий рост волны при этом обеспечивается схождением в одной точке нескольких локализованных групп волн. Этот процесс оказывается чрезвычайно чувствительным по отношению к малым изменениям начального поля и случайным возмущениям. В то же время фокусировка волновых пакетов в результате дисперсионного сжатия с учетом нелинейности оказывается слабо чувствительной к неоптимальности фазовой модуляции и наличию случайной волновой компоненты. Она ведет к более значительному и резкому росту волны, в сравнении с механизмом модуляционной неустойчивости, что может объяснять неожиданный характер возникновения волн-убийц на морской поверхности.
Краткое содержание диссертации.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы с многоуровневой нумерацией, заключения, четырех приложений (А, Б, В и Г) и библиографического списка. Таблицы и рисунки к главам располагаются после приложений.
Заключение
.
В настоящем диссертационном исследовании проводится изучение нелинейной волновой динамики внутренних и поверхностных волн большой амплитуды. При этом особое внимание уделяется поведению внутренних локализованных уединенных волн (солитонов, бризеров) и механизмам фокусировки поверхностных волновых пакетов. Исследование выполнено в рамках упрощенных моделей, описывающих распространение нелинейных диспергирующих внутренних и поверхностных волн: обобщения уравнения Кортевега — де Вриза с учетом кубического нелинейного слагаемого (уравнение Гарднера), уравнения КдВ с модифицированным законом дисперсии, уравнения Гарднера с учетом членов второго порядка малости, нелинейного уравнения Шредингера, его двумерного аналога и системы Дэви — Стюартсона. Ввиду интегрируемости некоторых используемых моделей, значительная часть исследования выполнена с применением точных методов: аппарата обратной задачи рассеяния, преобразований Дарбу. При этом найдены новые аналитические решения. Проводилось численное моделирование перечисленных уравнений, а также численное решение задачи рассеяния для интегрируемых уравнений.
Перечислим основные полученные результаты:
1. с помощью преобразований Дарбу найдены двухсолитонные и бризерное решения уравнения Гарднера, описывающего длинные слабо нелинейные внутренние волны в океане (его коэффициенты определяются стратификацией плотности и течений) — исследованы различные режимы взаимодействия солитонов. Описан эффект прохождения солитона по хребту другого — широкого — солитона с изменением полярности (он был позднее подтвержден в рамках полнонелинейной модели Миаты). Найдено «непредсказуемое» поведение волны при взаимодействии разнополярных солитонов с малыми скоростями;
2. в рамках уравнения Гарднера показано, что при эволюции импульсного возмущения запредельной амплитуды в случае отрицательной кубической нелинейности широкий солитон играет роль пьедестала для формирующегося цуга мелких солитонов. Прямоугольный профиль начального возмущения демонстрирует вырожденное решение начальной задачи. Учет отрицательной кубической нелинейности при моделировании трансформации внутреннего бора на океаническом шельфе приводит к уменьшению амплитуд и скоростей уединенных волн, а также изменению их формы. В случае положительной кубической нелинейности эволюция импульсного возмущения может вести к формированию одиночных солитонов, пар солитонов разного знака и бризеров;
3. обобщенное уравнение Гарднера с учетом поправок следующего порядка малости сведено с помощью асимптотического преобразования поля к уравнению Гарднера с добавочными нелинейными членами (уравнение Гарднера второго порядка). В рамках этой модели предельные амплитуды и скорости широких солитонов становятся больше по сравнению с классическим уравнением Гарднера. Новое уравнение оказывается неинтегрируемым и демонстрирует неупругий характер столкновения солитонов, возникновение дополнительных слабо энергетичных солитонов;
4. исследована волновая динамика в рамках уравнения Кортевега — де Вриза с улучшенной дисперсионной зависимостью для волн на воде, имеющей без дисперсионные пределы длинных и коротких волн. Такая модель демонстрирует генерацию солитонов различной полярности, в том числе, их образование из возмущения одной полярности;
5. проблема формирования аномально больших волн на поверхности океана исследована в одномерном случае в приближении нелинейного уравнения Шредингера с помощью его инвариантного преобразования и метода обратной задачи рассеяния для начального импульсного двухпараметрического возмущения. Найдено, что формирование аномально большой волны есть слабо нелинейный процесс, когда в группирующемся цуге волн содержится не более одного солитона огибающей. Задача столкновения солитона с отрезком плоской волны исследована с помощью полученного аналитического решения нелинейного уравнения Шредингера, соответствующего локализованному возмущению огибающей плоской волны. При гаком столкновении солитон огибающей перестраивается в локализованное возмущение плоской волны, а потом снова восстанавливает свою форму. При этом имеет место линейная суперпозиция их собственных амплитуд;
6. в рамках двумерной модели Дэви — Стюартсона для нелинейных слабо модулированных волн на поверхности океана конечной глубины показано, что формирование аномально больших волн может быть результатом нелинейной эволюции гладкого волнового поля, однако резкий рост волны при этом обеспечивается схождением в одной точке нескольких локализованных групп волн. Этот процесс оказывается чрезвычайно чувствительным по отношению к малым изменениям начального поля и случайным возмущениям. В то же время фокусировка волновых пакетов в результате дисперсионного сжатия с учетом нелинейности оказывается слабо чувствительной к неоптимальности фазовой модуляции и наличию случайной волновой компоненты. Она ведет к более значительному и резкому росту волны, в сравнении с механизмом модуляционной неустойчивости, что может объяснять неожиданный характер возникновения волн-убийц на морской поверхности.
Решение изложенных проблем важно для разработки прогностических численных моделей океанических волн, интерпретации наблюдаемых явлений, оценки воздействия волн на берега и сооружения. Уравнение Гарднера предлагается как универсальная модель для слабонелинейных внутренних волн на шельфе с учетом реальной изменчивости гидрологии прибрежной зоны. Выполненное в работе исследование процессов дисперсионной и нелинейной фокусировки волн с формированием сильно локализованных интенсивных волн имеет большое теоретическое и практическое значение для объяснения природы и свойств волн-убийц.
