Применение проекционных методов к исследованию волноведущих и резонансных систем с особенностями

Актуальность и практическая значимость.

Современные технологии предлагают большие возможности по созданию различных электромагнитных систем с наперед заданными геометрическими и электродинамическими параметрами. Устройства, которые буквально тридцать лет назад были уникальными, становятся предметами массового использования. Поэтому одним из важнейших вопросов по-прежнему остается вопрос экономической эффективности и целесообразности создания устройств с заданными характеристиками. Во многих случаях достаточно совсем немного изменить хотя бы один параметр системы, чтобы получить как существенное улучшение, так и ухудшение выходных данных системы. Приближенные аналитические методы уже далеко не всегда могут удовлетворить потребности практики, поэтому возникает необходимость создания эффективных универсальных и высокоточных методов математического моделирования конкретных электродинамических структур.

Особенно важным математическое моделирование становится в случае, когда системы имеют так называемые физические особенности. Среди таких особенностей можно выделить две большие группы: геометрические и электродинамические.

Геометрические особенности могут являться следствием создания структур сложной геометрической формы или просто имеющих неоднородность поверхности [1]. Примером такой электродинамической конструкции служит волновод с входящими ребрами. Подобные системы широко используются в микроволновых устройствах и цепях [2].

Входящие углы в волноводе могут быть по многим причинам, как по техническим, например, вследствие состыковки нескольких волноводов.

1], так и для получения специального физического эффекта. Примером волновода, имеющего в своем поперечном сечении входящие углы, служит гребенчатый волновод.

Гребенчатые волноводы обладают важными для практического применения свойствами, одним из которых является эффект аномально малого затухания некоторых типов нормальных волн при определенных соотношениях между геометрическими параметрами и длиной волны [3]. Данный эффект обнаружен экспериментально [4] и численно исследован в работах [5−7] для случая круглого волновода и в работе [8] для случая прямоугольного волновода. В работе [9] проведено аналитическое исследование эффекта аномально малого затухания некоторых типов нормальных волн в плоском гребенчатом и азимутально-гофрированном волноводах. Для плоского гребенчатого волновода наличие эффекта аномально малого затухания было подтверждено численным экспериментом [10].

Гребенчатые волноводы находят применение в качестве фильтра для пассивного микроволнового устройства или настроечного элемента в нем [11,12]. Гребенчатый прямоугольный [13] и гребенчатый цилиндрический [14] волноводы часто используются в двухмодовых полых или диэлектрических резонаторных фильтрах. Многогребенчатые прямоугольные волноводы применяются как настроечные элементы во входящих коаксиальных фильтрах [15].

С помощью входящих углов в волноводе можно также моделировать наличие дефектов в поверхности системы (царапины, изломы и др.) или щупы, возбуждающие волновод.

Очень часто математические модели, описывающие системы с физическими особенностями, имеют особенности математического характера. Так в случае волновода с входящим ребром известно, что решение краевой задачи, описывающей данную систему, имеет сингулярность, которая значительно осложняет численный эксперимент [16−18]. Решить эту проблему можно с помощью выделения этой особенности инструментами математической физики и корректировки численного алгоритма с учетом полученной особенности. Теоретическое исследование однородных по длине вол-новедущих систем, содержащих входящие ребра, проведено в работах [1921].

К системам с особенностями электродинамического характера можно отнести конструкции, имеющие заполнение материалами с различными диэлектрическими и магнитными свойствами. Примером системы данного типа служит электромагнитный резонатор, важными характеристиками которого являются спектр его резонансных частот и добротность. Резонансные системы находят широкое применение при создании узкополосных фильтров, прецизионной измерительной аппаратуры, для стабилизации СВЧ-генераторов, а также при создании чувствительных элементов для измерения различных физических и химических параметров окружающей среды.

Классическая теория [22−24] дает аналитическое описание резонаторов с идеально проводящей поверхностью наиболее простых форм.

В случае наличия потерь в поверхности волновода можно использовать модель поверхности системы с импедансными граничными условиями [25]. В работах [25−27] решена задача расчета резонансных волновых чисел и добротности собственных колебаний сферического резонатора в приближении теории возмущений для случая малого по модулю поверхностного импеданса. Численный алгоритм решения данной задачи для случая произвольного по модулю комплексного поверхностного импеданса рассмотрен в работе [28]. Использованная в последней работе техника применена для расчета многослойного сферически-слоистого резонатора в работах [29−31].

С помощью выбора материала заполнения резонатора и его структуры можно существенно менять спектр частот, распределение полей, а также значительно увеличить добротность [30,31]. Свойство высокодобротности сферического резонатора может быть использовано при его применении в метрологии [32].

К резонаторам сравнительно простых форм также относятся цилиндрические резонаторы [22−24]. Среди цилиндрических резонаторов большой интерес представляют резонаторы аксиально-симметричных форм кусочно-постоянного радиуса. Помимо перечисленных свойств резонаторов, предполагается, что такие элементы могут найти применение при конструировании проводящих систем с малыми потерями, а также для генерации СВЧ-энергии [33]. В частности, такие резонаторы экспериментально исследовались на кафедре колебаний физического факультета МГУ [34].

Рассматривая особенности резонаторов и волноводов в виде заполнения материалами с различными электромагнитными свойствами, следует отметить приобретающие все большую популярность метаматериа-лы, искусственно созданные вещества, проявляющие при взаимодействии с электромагнитным полем свойства, существенно отличные от свойств природных материалов. Примером новых метаматериалов служат киральные среды — среды, содержащие киральные объекты, т. е. объекты, которые не совмещаются со своим зеркальным отображением (лист Мебиуса, неправильный тетраэдр, различные спирали [35−37]). Киральные среды исследуются в работах [38−41]. В работах [42−45] рассмотрены важные для практического применения свойства, которые могут проявляться в различных киральных средах.

В настоящей работе исследуются неоднородная по длине цилиндрическая волноведущая система, имеющая в конечном ее участке входящие ребра постоянного раствора, и резонансная диэлектрическая структура с диэлектриком кусочно-постоянного радиуса. С помощью такой резонансной системы в случае малых диэлектрических потерь и при размерах поверхности резонатора много больших геометрических размеров диэлектрика можно также моделировать открытые диэлектрические системы кусочно-постоянного радиуса [46].

Некоторые методы численного исследования.

Метод поперечных сечений.

В 1955 году в работе С. А. Щелкунова и П. Е. Краснушкина для расчета волноводов с плавными нерегулярностями был предложен метод поперечных сечений [47−48], впоследствии развитый в работах А. Г. Свешникова, A.C. Ильинского, Б. З. Каценеленбаума, В. П. Моденова и других авторов. В данном методе поле в любом сечении волновода представляется в виде бесконечной суммы полей нормальных волн [49−51], распространяющихся в обоих направлениях. Коэффициенты разложения поля являются функциями продольной координаты и удовлетворяют бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Сходимость данного метода была доказана для слабо нерегулярных волноводов на физическом уровне строгости.

Метод частичных областей.

Метод частичных областей [52] заключается в разбиении рассматриваемой области на подобласти, в которых ищутся независимые решения, которые удовлетворяют граничным условиям исходной задачи. Для расчета полей в разных областях можно выбирать различные методы, наиболее подходящие для данной конфигурации подобласти и ее заполнения. Так как на границе подобластей на поле никаких условий не налагается, то найденные решения определяются с точностью до совокупности постоянных, которые находятся из условий сшивки полей на этих границах. В зависимости от условий сшивки метод частичных областей подразделяется на несколько более узких методов [53].

Неполный метод Галеркина.

В 1915 году для приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений Б. Г. Галеркиным был предложен метод, который заключается в поиске решения в виде суммы непрерывной функции, удовлетворяющей краевым условиям задачи, и конечного ряда, члены которого берутся из полной в классе непрерывных функций системы линейно-независимых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям. Коэффициенты разложения находятся из условия ортогональности невязки к базисным функциям, которое приводит к системе алгебраических уравнений. Данный метод [54,55] относится к группе проекционных методов [50,51], так как приближенное решение проектируется на подпространство базисных функций. Поскольку И. Г. Бубнов предложил аналогичный метод для построения приближенного решения вариационных задач, то данный метод также носит название метода Бубнова-Галеркина.

В начале 60-х годов А. Г. Свешниковым был предложен неполный метод Галеркина [56−58], который приводит к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Благодаря специальному выбору проекционных соотношений в неполном методе Галеркина построенное приближенное решение удовлетворяет тому же энергетическому равенству, что и точное решение, что позволяет провести строгое математическое доказательство сходимости метода. Зачастую для решения жесткой системы дифференциальных уравнений, получаемых при численной реализации неполного метода Галеркина, приходится использовать специальные трудоемкие методы, в частности метод направленной ортогонализации [59].

Метод конечных разностей.

Одним из наиболее мощных и универсальных методов приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных является метод конечных разностей [60], с успехом применяемый для моделирования волноведущих систем с физическими особенностями [61−70].

При решении нестационарных задач расчета волноведущих систем методом конечных разностей используются различные алгоритмы дискретизации уравнений Максвелла, основой которых является идея, впервые предложенная Кейном Йе в 1966 году [71,72], которая заключается в специальном выборе пространственного шаблона для представления электромагнитных полей, который наиболее полно отражает уравнения Максвелла.

Стационарные задачи расчета волноводов разделяются на два класса: спектральные задачи и задачи возбуждения. При решении спектральных задач, т. е. задач расчета однородной по длине волноведущей системы со сложной геометрией поперечного сечения и с неоднородными в поперечном направлении электромагнитными свойствами ее заполнения, строятся консервативные конечно-разностные схемы, либо применяются проекци-онно-сеточные методы. При решении задач возбуждения, т. е. задач расчета неоднородных по длине волноводов, используются различные подходы, в частности применяются методы ограничения области для случая локального характера неоднородности. Для решения полученной конечно-разностной задачи применяются прямые и модифицированные итерационные методы с комплексными итерационными параметрами, а также метод немонотонной прогонки [73,74]. Для расчета стационарной задачи также применяются различные подходы, например, основанные на замене данной задачи на близкую к ней нестационарную, для которой имеются устойчивые алгоритмы численного решения (метод параболического уравнения, метод опорной волны). Стоит также отметить подход, который заключается в регуляризации уравнения Гельмгольца, в использовании алгоритма ограничения спектра и выделения спектральной полосы и алгоритмов коррекции спектра параболического уравнения [52,75,76].

Метод конечных элементов.

Одним из наиболее популярных в последнее время методов расчета сложных волноведущих систем является метод конечных элементов (МКЭ) [40,77−81]. Математические основы этого метода были сформулированы в 1943 году известным математиком Р. Курантом [82−84].

В МКЭ приближенное решение ищется в виде разложения по базисным функциям, имеющим конечный носитель. В зависимости от геометрии рассматриваемой области происходит ее разбиение на подобласти, на которых искомая функция локально аппроксимируется кусочно-полиномиальными функциями. В случае простых областей в качестве стандартных конечных носителей используются треугольники или четырехугольники. Если априорно известно, что решение в некоторых точках может иметь особенность, в МКЭ используется нерегулярная сетка со сгущением в окрестностях данных точек, либо, если известно поведение предполагаемой сингулярности, в пространство базисных функций добавляется новая функция, хорошо аппроксимирующая особенность. Для улучшения точности приближенного решения применяются Ь-версия, р-версия или их комбинация — Ь-р версия метода конечных элементов. В случае применения Ь-версии МКЭ для повышения точности найденного результата производится сгущение сетки, в том числе и нерегулярное. При использовании р-версии для уточнения решения повышается степень используемых полиномов, но на практике оказывается, что эффективнее применять либо Ь-версию метода, либо Ь-р версию метода с невысокой степенью полиномов, обычно не выше третьей. Коэффициенты разложения приближенного решения находятся из проекционных соотношений или минимизации функционала, что приводит к системе линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей, т. е. к разностной схеме. Таким образом метод конечных элементов относится к группе проекционно-сеточных методов, которые являются комбинацией проекционных и конечно-разностных методов. Так как нередко при решении задач электродинамики получаемые матрицы являются разреженными симметричными, но незнакоопределенными, для их обработки приходится применять специальные устойчивые алгоритмы [85−87].

При использовании метода конечных элементов стоит отметить весьма мощный и перспективный метод атомарных функций [88−90].

При применении метода конечных элементов к задачам расчета волноведущих систем возникает проблема появления фиктивных решений [91,92], так называемых «духов», которые не соответствуют реально распространяющимся модам в волноводе. Существует несколько способов устранения несуществующих решений, которые можно разделить на два типа: апостериорный способ, когда вычисляются все решения, а потом из них удаляются «духи», и априорный, когда используется такая математическая постановка задачи или строятся такие алгоритмы ее решения, что фиктивные решения не появляются. Одним из априорных методов борьбы с нефизическими решениями является метод штрафов [93], однако показано [94], что и при применении данного метода не всегда удается решить проблему фиктивных решений. Другим априорным методом борьбы с «духами» является метод смешанных конечных элементов, который зарекомендовал себя как весьма эффективный и надежный метод расчета волноведущих систем со сложной геометрией и анизотропным заполнением [95−97].

Методы ограничения области.

При решении задач возбуждения волноведущих систем зачастую применяются методы ограничения области. Среди таких методов следует отметить метод эффективных граничных условий [52], использование бесконечных конечных элементов [77,98,99] при решении задачи МКЭ, метод эффективных интегральных граничных условий [100] и др. Отдельно следует отметить метод ограничения области, связанный с постановкой парциальных условий излучения, предложенных А. Г. Свешниковым [50,51,101], который оказался весьма эффективным при численном моделировании волноведущих систем. В случае нестационарных задач для ограничения области удобно использовать «идеально согласующиеся граничные условия» [102].

Методы исследования в данной работе.

Несмотря на качественно различные физические особенности рассматриваемых в данной работе систем, оказывается, что для их исследования удобно использовать проекционные методы в различной модификации.

Для численного исследования резонансной системы в работе применяется проекционно-сеточный метод — МКЭ. Вследствие аксиальной симметрии резонатора трехмерная задача расчета спектра сводится к двумерной, а наличие прямых углов в сечении определяет выбор конечных элементов.

Для исследования волновода применяется комбинация проекционных методов, а именно проекционного метода в виде неполного метода Галер-кина и проекционно-сеточного метода конечных элементов.

В неполном методе Галеркина в качестве базиса используются собственные функции оператора Лапласа для поперечного сечения с вырезом. Так как такое сечение имеет входящий угол, в общем случае не доходящий до центра круга, то спектральная задача для этой области не решается аналитически, вследствие чего для ее решения необходимо применять численный метод. Наличие входящего угла определяет особенность решения спектральной задачи в виде сингулярности в окрестности угловой точки границы, вид которой может быть найден аналитически. Поэтому для решения такой задачи удобно использовать проекционный метод в форме метода конечных элементов, т.к. выбирая в нем в качестве пробной функции полученную теоретически сингулярную функцию, можно точно аппроксимировать особенность.

Содержание работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы.

Заключение

.

Основные научные результаты состоят в следующем:

1. Показано, что задача о распространении бегущих нормальных волн в волноводе, имеющем входящие ребра в конечной его части, имеет единственное решение.

2. Предложен алгоритм расчета волновода с входящими ребрами, представляющий собой комбинацию проекционных методов и учитывающий особенности поведения решения задачи в окрестности входящего угла путем использования построенной асимптотики по гладкости решения соответствующей краевой задачи.

3. На основе доказанных теорем делается вывод о целесообразности применения предложенного алгоритма к расчету рассматриваемых систем.

4. Аналитические результаты, полученные в диссертационной работе, подкреплены результатами численного моделирования волноведущей системы с входящмими ребрами.

5. Реализован алгоритм исследования цилиндрического резонатора, заполнение которого представляет собой последовательность диэлектрических соосных цилиндров различных радиусов. В качестве иллюстративного примера получено распределение полей для различного вида заполнения.

В заключении автор хотел бы выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Боголюбову А. Н. за постановку задачи и большую помощь в работе. Автор также выражает искреннюю благодарность кандидатам физико-математических наук Могилевскому И. Е. и Шапкиной Н. Е. за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.