Методы итеративного агрегирования для приближенного решения линейных и нелинейных алгебраических систем и интегральных уравнений

В XX веке круг вопросов, связанных с использованием электронных вычислительных машин (ЭВМ) приобрел огромное значение в различных областях научной и практической деятельности: экономической, военной, промышленной, управленческой, финансовой, сфере услуг, связи, научных исследований и т. д. Использование-ЭВМ предъявило новые требования к численным методам, основной задачей которых на этом этапе была разработка новых методов, «удобных» для ЭВМ.

Актуальность и важность проблем, рассматриваемых в диссертации, обусловлена следующими причинами.

Применение ЭВМ в различных областях научной и практической деятельности может быть охарактеризовано как анализ математических моделей. Изучение реальных явлений на основе анализа построенных моделей, как правило, требует развития численных методов и привлечения ЭВМ. Таким образом, численные методы решения поставленных математических задач, и в первую очередь типовых математических задач, занимают важное место в математике.

В качестве примера типовых математических задач, часто встречающихся в приложениях, можно назвать задачи алгебры: здесь большое значение имеют численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (в частности, систем большой размерности), обращение матриц, нахождение собственных значений.

В частности, при решении широкого класса задач математического анализа и алгебры требуется находить решение линейных и нелинейных алгебраических систем и интегральных уравнений, причем во многих случаях бывает достаточно найти лишь приближенное решение с определенной степенью точности.

Процесс отыскания как точного, так и приближенного решения системы алгебраических уравнений является весьма затруднительным при достаточно большом количестве неизвестных. В этих случаях прибегают к различным методам, позволяющим находить решение с помощью итерационных процессов.

Часто бывает удобно переписать систему алгебраических уравнений в виде одного операторного уравнения с линейным или нелинейным оператором. Впоследствии некоторые методы, полученные для отыскания решения систем алгебраических уравнений, удалось перенести на уравнения с абстрактными операторами, и наоборот. В качестве одного из возможных методов нахождения решения операторного уравнения в диссертации исследуются методы однопараметрического и многопараметрического итеративного агрегирования и варианты метода Зейделя применительно к операторному уравнению вида x=Ax+f (1) с линейным или нелинейным оператором^, действующим в банаховом пространстве Е, и свободным членом/ из этого пространства.

В частности, объектом диссертационных исследований являются задачи математической экономики, важной особенностью которых является тот факт, что они представляют собой задачи, содержащие значительное количество уравнений с соответствующим числом неизвестных, а это весьма существенно технически осложняет решение таких систем, ибо «стандартные» методы решения требуют обращения матриц высокого порядка, что является технически сложной задачей вычислительной практики и требует больших затрат машинного времени.

В связи с решением ряда экономических задач в 60−70 годы и возникла идея агрегирования. Под агрегированием принято понимать получение из исходной математической модели (системы, задачи) в некотором смысле более простой (агрегированной) модели (системы, задачи), вытекающей из исходной, содержащей меньшее количество величин (агрегатов), чем исходная. Здесь важное место занимают экономико-математические методы согласования плановых расчетов, осуществляемых в различных отраслях и сферах и на различных уровнях управления хозяйством как отдельно взятого предприятия, так и страны в целом.

К примеру, методы, рассматриваемые в диссертации, позволяют находить решение класса задач, относящихся к уравнениям межотраслевого баланса, т. е. уравнений вида п.

7=1 где ciy W — технологические коэффициенты, обозначающие затраты z-го продукта на выпуск одной единицы j— го продукта), (xj, x2,., Ху) — вектор валового выпуска, стак назьшаемый «чистый» выпуск продукции /-той отрасли. Система таких уравнений имеет простой экономический смысл и представляет собой балансовое соотношение между валовым выпуском xt в i — той отрасли и «чистым» выпуском ct этой отрасли и называется моделью Леонтьева межотраслевого баланса. За разработку этой модели и ее применение к анализу американской экономики В. В. Леонтьеву, как известно, была присуждена Нобелевская премия в области экономики.

Существенные прикладные преимущества, проведенные исследования практической скорости сходимости процессов итеративного агрегирования, возможность контроля результатов процесса решения дают повод обратить серьезное внимание на методы итеративного агрегирования не только как на объект интересных теоретических исследований, но и как на новый подход к организации и проведению реальных расчетов плановых задач большой размерности и сложной структуры.

Разработкой и обоснованием этих методов занималось множество ученых [1], [9], [10], [11], [18], [19], [21], [22], [30], [33], и т. д. В частности, настоящая работа продолжает исследования результатов ряда авторов: Дудкина Л. М., Щенникова Б. А., Красносельского М. А., Стеценко В. Я., и др. и посвящена методам однопараметрического и многопараметрического итеративного агрегирования, содержит некоторые достаточные условия сходимости этих методов, а также варианты метода Зейделя.

Цель диссертационных исследований заключается в получении новых итерационных методов ускорения сходимости, а также исследовании методов итеративного агрегирования, однопараметрического и многопараметрического, применительно к системам линейных, нелинейных алгебраических уравнений и интегральных уравнений. Также в работе выясняются достаточные условия сходимости рассмотренных итерационных методов. В качестве математической базы для диссертационных исследований применяются идеи и методы классического функционального анализа и теории положительных операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах.

Научная задача исследований состоит в разработке методов однопараметрического и многопараметрического итеративного агрегирования для получения приближенного решения линейных и нелинейных алгебраических систем и интегральных уравнений. Для решения поставленной общей научной задачи проведена ее декомпозиция на пять частных задач:

1) Получение достаточных условий сходимости методов однопараметрического и многопараметрического итеративного агрегирования, исследование свойств агрегирующих операторов.

2) Получение аналогов рассмотренных методов итеративного агрегирования.

3) Практическое исследование условий сходимости методов многопараметрического и однопараметрического итеративного агрегирования в зависимости от величины спектрального радиуса оператора.

4) Разработка новых методов ускорения сход имости.

5) Исследование метода Зейделя различных порядков для операторных уравнений с линейным оператором.

Дня решения поставленных в работе научных задач были использованы методы вычислительной математики, линейной алгебры, классического функционального анализа и теории положительных операторов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) Разработке методов однопараметрического и многопараметрического итеративного агрегирования для классов интегральных и нелинейных операторов.

2) Формулировке и доказательстве некоторых неизвестных ранее достаточных условий сход имости методов однопараметрического и многопараметрического итеративного агрегирования.

3) Разработке аналогов методов однопараметрического и многопараметрического итеративного агрегирования для классов интегральных, линейных и нелинейных операторов.

4) Исследовании свойств операторов агрегирования.

5) Разработке аналогов метода Зейделя различных порядков.

6) Разработке некоторых методов ускорения сходимости, в частности, синтеза методов Ньютона-Канторовича и методов МИА различных порядков, и совместного применения методов Зейделя и метода однопараметрического итеративного агрегирования.

В диссертации используется терминология функционального анализа [14], [15], [16], [17],[21], [27], [37], и численных методов [3], [7], [13], [23], [29], [30].

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. В ней принята сквозная нумерация параграфов, для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер параграфа и порядковый номер утверждения или формулы в нем. Для целостности изложения в диссертации приведен ряд известных результатов.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

Результаты диссертации представляют собой развитие теории методов итеративного агрегирования для нахождения приближенного решения различных классов операторных уравнений, действующих в полуупорядоченных пространствах. В работе исследована скорость сходимости данных методов.

Итак, диссертационная работа посвящена исследованию вопросов, связанных с методами итеративного агрегирования, а также различных вариантов метода Зейделя: найдены некоторые достаточные условия сходимости методов однопараметрического и многопараметрического итеративного агрегирования для решения различных классов операторов: матричных, нелинейных, интегральныхполучены некоторые методы ускорения сходимости методов Зейделя и методов НьютонаКанторовичапроведен сравнительный анализ скорости сходимости методов итеративного агрегирования и метода последовательных приближений, а также метода однопараметрического итеративного агрегирования и методов многопараметрического итеративного агрегирования с различным количеством агрегатовустановлены некоторые свойства операторов агрегирования.

Заключение

.