Квадратурная формула Гаусса

http://

http://

ВВЕДЕНИЕ

Задачей численного интегрирования является замена исходной подынтегральной функции, для которой трудно или невозможно записать первообразную в аналитике, некоторой аппроксимирующей функцией. Обычно такой функцией является кусочный полином:

То есть:

где априорная погрешность метода на интервале интегрирования, а априорная погрешность метода на отдельном шаге интегрирования.

Повышение точности вычисления интегралов выполняется за счет повышения порядка точности квадратур, т. е. повышения степени полиномов, для которых квадратуры точны, за счет разбиения отрезка на части, за счет сведения интегралов от функций с «особенностями» к интегралам от более гладких функций. Методы вычисления однократных интегралов называются квадратурными (для кратных интегралов кубатурными).

В данной работе пойдет речь о квадратурной формуле Гаусса и способах решения задач с помощью этих формул.

1. КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА ГАУССА

1.1 О квадратурной формуле Гаусса Из оценки, где априорная погрешность метода на интервале интегрирования,

а любой многочлен степени ,

следует, что погрешность квадратуры оценивается через погрешность приближения функции многочленами. Функция приближается многочленами более высокой степени точнее, чем многочленами низшей степени:

Поэтому есть основания обратить внимание на квадратуры, точные для многочленов по возможности более высокой степени.

Рассмотрим следующую оптимизационную задачу. При заданном числе узлов построить квадратуру точную для многочленов наиболее высокой степени. Такие квадратуры называют квадратурами Гаусса.

Квадратура точна для многочленов степени если она точна для всех функций Следовательно, должны выполняться соотношения:

Получили систему изго уравнения относительно неизвестных где неизвестные узлы, а неизвестные коэффициенты квадратурной формулы .

При число уравнений не превосходит числа неизвестных, поэтому можно ожидать, что алгебраическая система имеет решение. Можно попытаться построить квадратурные формулы, соответствующие значению, решая эту систему, однако неясно, будут ли узлы квадратур, получаемые из принадлежать отрезку В противном случае может оказаться, что функция не определена в узлах интегрирования и употребление квадратуры невозможно.

1.2 Построение квадратуры Построим квадратуры, соответствующие максимальному значению

Существует лемма 1:

Если узлы квадратуры точной для всех многочленов степени, то

при произвольном многочлене степени не выше

Далее предполагается, что почти всюду на

Многочлен ортогонален всем многочленам низшей степени, если скалярное произведение задано соотношением:

Поэтому и узлы отыскиваемой квадратуры должны быть нулями Многочлен на имеет различных нулей.

Существует лемма 2:

Пусть нули ортогонального многочлена степени и квадратура, точная для многочленов степени. Тогда квадратура точна для многочленов степени

Теперь можно построить требуемую квадратурную формулу. Для этого зададимся узлами интерполяции в которых и построим квадратуру, точную для многочленов степени. В итоге получим требуемую квадратуру:

точную для многочленов степени

Если почти всюду то не существует квадратуры, точной для всех многочленов степени В самом деле, возьмем тогда левая часть

а правая равна .

Справедлива лемма 3:

Коэффициенты положительны.

Из оценки погрешности на интервале интегрирования и по лемме 3 имеем:

Можно также получить оценку погрешности квадратур Гаусса через Эта оценка имеет вид:

Для практического применения формул Гаусса необходимо иметь в распоряжении узлы и коэффициенты этих квадратур. Можно показать, что для случая четной относительно точки, нули ортогональных многочленов, т. е. узлы квадратур Гаусса, расположены симметрично относительно середины отрезка Поэтому коэффициенты квадратуры Гаусса будут удовлетворять условию четности Это обстоятельство наполовину уменьшает объем таблиц для формул Гаусса.

Если то коэффициенты и числа не зависят от отрезка В самом деле, если многочлен принадлежит системе многочленов, ортогональных с весом на, то многочлен принадлежит системе многочленов, ортогональных с весом на Поэтому он сам, его нули и коэффициенты определяются однозначно, независимо от исходного отрезка

Приведем для сведения параметры квадратур Гаусса для отрезка при В этом случае остаточный член для квадратурной формулы есть Вследствие свойства симметрии мы указываем лишь неотрицательные и коэффициенты при них (см. приложение 1)

В настоящее время составлены таблицы узлов и весов квадратур Гаусса по крайней мере до десятичными знаками. Вследствие их большого объема, начиная с некоторого их публикуют лишь для

Иногда целесообразно видоизменить идею Гаусса построения квадратур, точных на многочленах максимально высокой степени. Например, пусть требуется вычислить, а значение вычисляется существенно быстрее, чем значения в других точках отрезка. Тогда имеет смысл построить квадратуру:

точную для многочленов степени. Если требуется вычислить, а значения вычисляются существенно быстрее, чем значения во внутренних точках отрезка, то имеет смысл построить квадратуру:

точную для многочленов степени; в последнем случае оказывается, что при всех .

Степень многочлена, для которого точна квадратура, определяется числом свободных параметров квадратуры. Квадратура называется квадратурой Лобатто или формулой Марков; при она совпадает с формулой трапеций, при с формулой Симпсона.

1.3 Построение квадратурной формулы для сплайна степени

Пусть отрезок интегрирования непрерывной функции разбит на равных частей точками Шаг разбиения. Пусть функция, аппроксимирующая подынтегральную функцию

На каждом из интервалов расположено узлов в которых Пусть многочлен степени такой что

а)

б) Определенный интеграл от функции на отрезке выражается через значение подынтегральной функции в узлах в виде их линейной комбинации т. е.

Чтобы для выбраной степени сплайна построить квадратурные формулы Гаусса, необходимо найти из условий а) и б) неизвестных:

ѕ неизвестных коэффициентов ;

ѕ координат узлов .

Будем решать задачу одновременно для всех участков. Для этого введем новую переменную, общую для всех интервалов.

Тогда: и

И при т.о.

Положим:

Тогда:

И примет вид:

Теперь рассмотрим квадратурную формулу Гаусса с тремя узлами При этом необходимо определить шесть величин: Функция многочлен степени

Подставим Учитывая, что получим тождество относительно коэффициентов

В общем случае степень аппроксимирующего полинома равна: где число узлов.

Для трех узлов имеем: т. е. многочлен пятой степени. Коэффициенты при вычисляем из левой части

Приравнивая коэффициенты при в правой и левых частях и учитывая, получим шесть уравнений:

Решение системы нелинейной системы найти очень сложно, однако оказывается, что неизвестное в уравнениях совпадают с нулями многочлена Лежандра:

Нули многочлена принадлежат интервалу: и расположены симметрично середины интервала.

В нашем случае

Таким образом:

Корни (нули) уравнения находим из:

Т.о. найдены значения системы

Решение системы:

Подставим найденные значения в

Теперь находим из

находим с учетом соотношения:

Т.о.

Для получаем:

Таким образом:

Итак, квадратичная формула Гаусса с тремя узлами имеет вид:

Где

Если имеет непрерывность производной до шестого порядка, то для оценки погрешности формулы Гаусса с тремя узлами можно использовать неравенство:

При вычислении интеграла до достижения заданной точки методом двойного пересчета, условие окончаний вычисления имеет вид:

Где число узлов.

При этом полагают, что: с точностью .

2. Примеры задач и их решения Пример 1: Найти приближенное значение интеграла по квадратичной формуле Гаусса с тремя узлами для т. е. без разбиения отрезка на части Оценить погрешность вычислений.

Решение: Ищем:

С погрешностью не более, чем имеем:

Ответ: Здесь

Пример 2: Решить интеграл с помощью квадратурных формул Гаусса для случая трех ординат на конкретном примере:

Решение Начальные условия В силу формулы замены переменной и таблицы (см. приложение 2) абсциссы точек будут иметь следующие значения:

Для оценки остаточной погрешности воспользуемся формулой:

Следовательно,

Несмотря на высокую точность квадратурных формул Гаусса, ими пользуются сравнительно редко из-за трудностей при расчетах.

Решение этой задачи было реализовано с помощью программы Microsoft Visual C# 2010 (см. приложение 3).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

квадратурный гаусс формула В данной работе были подробно рассмотрены квадратурные формулы Гаусса, их определение, интегральные конструкции, примеры, четко описывающие квадратуры Гаусса.

В ходе данной работы были собраны и анализированы необходимые для понимания факты по заданной теме, приведены некоторые алгоритмы, позволяющие отследить ход решений задач, использующих квадратурные формулы Гаусса.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Наука, 2006, 630с.

2. Блюмин А. Г., Федотов А. А., Храпов П. В. Численные методы вычисления интегралов и решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Численные методы». — М.: Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, 2008. — 74с.

3. http://studopedia.net/3_13 690_kvadraturnie-formuli-gaussa.html

ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица 1

Таблица 2

Приближенные значения абсцисс и коэффициентов в квадратурной формуле Гаусса.

Текст программы

using System;

using System.Collections.Generic;

using System. Linq;

using System. Text;

using System. IO;

namespace Kurs_zadanie

{

class Program

{

static void Main (string[] args)

{

double a = 0.0, b = 1.0;

double[] ti = { -0.7746, 0, 0.7746 };

double[] xi = {0, 0, 0};

double[] Ai = {0.5555, 0.8888, 0.5555 };

double[] fi = { 0, 0, 0};

double[] f = { 0, 0, 0 };

double[] sum = { 0, 0, 0 };

double I=0.0;

double R3;

Console.WriteLine («Интеграл: 1 / sqrt (1.5 + 2*x)»);

for (int i = 0; i < 3; i++)

{

xi[i] = ((b + a) / 2) + ((b — a) / 2) * ti[i];

fi[i] = ((b — a) / 2) * Ai[i];

f[i] = 1.0 / Math. Pow ((1.5 + 2 * xi[i]), .5);

sum[i] = fi[i] * f[i];

I += sum[i];

Console.WriteLine («xi= {0}», xi[i]);

}

Console.WriteLine ();

for (int i = 0; i < 3; i++)

{

Console.WriteLine («fi= {0}», fi[i]);

}

Console.WriteLine ();

Console.WriteLine («I= {0}», I);

R3 = 0.6 349 206*Math.Pow (((b-a)/2), 7)*11 * 15 * 7 * 9 * Math. Pow ((1.5 + 2 * a), -6.5);

Console.WriteLine («Погрешность равна: {0:f10}», R3);

}

}

}

Результат программы: