Электрический потенциал

По современным представлениям, электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве электрическое поле, которое оказывает силовое действие на другие заряженные тела.

Главное свойство электрического поля — действие на электрические заряды с некоторой силой. Таким образом, взаимодействие заряженных тел осуществляется не непосредственным их воздействием друг на друга, а через электрические поля, окружающие заряженные тела.

Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика — напряженность электрического поля.

Потенциал электрического поля представляет собой отношение потенциальной энергии к заряду. Как известно электрическое поле является потенциальным. Следовательно, любое тело, находящееся в этом поле обладает потенциальной энергией. Любая работа, которая будет совершаться полем, будет происходить за счет уменьшения потенциальной энергии.

Цель работы: Изучение энергетической характеристики электростатического поля — электрический потенциал.

Задача: Рассмотреть: методы вычисления потенциала; методы визуализации электростатического поля через эквипотенциальные поверхности.

1. Электрическое поле

Действие заряженного тела на окружающие тела проявляется в виде сил притяжения и отталкивания, стремящихся поворачивать и перемещать эти тела по отношению к заряженному телу. Мы наблюдали проявление этих сил в опытах, описанных в предыдущих параграфах. Их можно наблюдать также с помощью поучительного опыта, который мы сейчас опишем.

Рис. 1. Схема экспериментальной установки для получения картин электрического поля: 1 — кювета, содержащая касторовое масло с кристалликами хинина, 2 — проводники, соединенные с электрической машиной и создающие электрическое поле, 3 — источник света, 4 — экран, на который проецируется тень от кристалликов электрический потенциал заряд напряженность Нальем в небольшую стеклянную кювету (рис. 1) какой-либо жидкий диэлектрик (например, масло), к которому подмешан порошок с крупинками удлиненной формы. В кювету поместим, например, две металлические пластинки, и соединим их с электрической машиной, позволяющей непрерывно разделять положительные и отрицательные заряды. Чтобы удобно было следить за поведением взвешенных в масле крупинок, спроецируем изображение всей картины на экран или просто отбросим тень кюветы на потолок (рис. 1). При зарядке пластинок можно видеть, что отдельные крупинки, расположенные вначале совершенно беспорядочно, начинают перемещаться и поворачиваться и в конце концов устанавливаются в виде цепочек, тянущихся от одного электрода к другому. На рис. 2 приведено изображение расположения крупинок между двумя параллельными металлическими пластинками, а на рис. 3 — между двумя металлическими шариками.

Рис. 2. Расположение крупинок между двумя параллельными пластинками, заряженными разноименно Рис. 3. Расположение крупинок между двумя металлическими шариками, заряженными разноименно В этом опыте каждая крупинка подобна маленькой стрелке: Небольшие размеры крупинок позволяют разместить их одновременно во многих точках среды и благодаря этому обнаружить, что действие заряженного тела проявляется во всех точках пространства, окружающего заряд. Таким образом, можно судить о существовании электрического заряда в каком-нибудь месте по действиям, производимым им в различных точках окружающего пространства.

В зависимости от заряда и формы заряженного тела действие его в различных точках пространства будет различным. Поэтому для полной характеристики заряда надо знать, какое действие он производит во всевозможных точках окружающего пространства, или, как говорят, надо знать электрическое поле, которое возникает вокруг заряда. Таким образом, понятием «электрическое поле» мы обозначаем пространство, в котором проявляются действия электрического заряда.

Если имеется не один, а несколько зарядов, расположенных в различных местах, то в любой точке окружающего пространства проявится совместное действие этих зарядов, электрическое поле, создаваемое всеми этими зарядами.

Заметим, что в начале изучения электричества часто возникает стремление «объяснить» электрическое поле, т. е. свести его к каким-либо иным, уже изученным явлениям, подобно тому как тепловые явления мы сводим к беспорядочному движению атомов и молекул. Однако многочисленные попытки подобного рода в области электричества неизменно оканчивались неудачей. Поэтому следует считать, что электрическое поле есть самостоятельная физическая реальность, не сводящаяся ни к тепловым, ни к механическим явлениям. Электрические явления представляют собой новый класс явлений природы, с которыми мы знакомимся на опыте, и дальнейшая наша задача должна состоять в изучении свойств электрического поля и его законов.

2. Электрический потенциал

Электрическое поле обладает определенным запасом энергии, т. е. способностью совершать работу. Как известно, энергию можно также накопить в пружине, для чего ее нужно сжать или растянуть. За счет этой энергии можно получить определенную работу. Если освободить один из концов пружины, то он сможет переместить на некоторое расстояние связанное с этим концом тело. Точно так же энергия электрического поля может быть реализована, если внести в него какой-либо заряд. Под действием сил поля этот заряд будет перемещаться по направлению силовых линий, совершая определенную работу.

Для характеристики энергии, запасенной в каждой точке электрического поля, введено специальное понятие — электрический потенциал. Электрический потенциал? поля в данной точке равен работе, которую могут совершить силы этого поля при перемещении единицы положительного заряда из этой точки за пределы поля.

Понятие электрического потенциала аналогично понятию уровня для различных точек земной поверхности. Очевидно, что для подъема локомотива в точку Б (рис. 4) нужно затратить большую работу, чем для подъема его в точку А. Поэтому локомотив, поднятый на уровень Н2, при спуске сможет совершить большую работу, чем локомотив, поднятый на уровень Н2 За нулевой уровень, от которого производится отсчет высоты, принимают обычно уровень моря.

Рис. 4. Разность уровней в поле земного тяготения Рис. 5. Разность потенциалов U между точками, А и Б электрического поля определяет работу, которая затрачивается на перемещение заряда q между этими точками

Точно так же за нулевой потенциал условно принимают потенциал, который имеет поверхность земли.

Потенциальная энергия заряда в однородном поле

Потенциальная энергия тела, поднятого над землёй, равна mgh. Случай заряда в однородном поле оказывается очень похожим на эту механическую ситуацию. Рассмотрим однородное электростатическое поле E, линии напряжённости которого направлены вдоль оси X (рис. 6). Пусть положительный заряд q перемещается вдоль силовой линии из точки 1 (с координатой x1) в точку 2 (с координатой x2).

Рис. 6. Перемещение заряда в однородном поле Поле действует на заряд с силой F~, которая направлена вдоль линий напряжённости. Работа этой силы, как легко видеть, будет равна:

A = F (x₂ — x₁)=qE (x₂ — x₁)

Что изменится, если точки 1 и 2 не лежат на одной линии напряжённости? Оказывается, ничего! Формула для работы поля останется той же самой. Убедимся в этом с помощью рис. 7.

Рис. 7. Перемещение заряда в однородном поле

Двигаясь из точки 1 в точку 2, давайте выберем путь 1 -> 3-> 2, где точка 3 лежит на одной силовой линии с точкой 1. Тогда работа A32 на участке 32 равна нулю — ведь мы перемещаемся перпендикулярно силе. В результате получим:

A =A₁₃+A₃₂=A₁₃=qE (x₂-x₁)

Мы видим, что работа поля зависит лишь от абсцисс начального и конечного положений заряда. Запишем полученную формулу следующим образом:

A =qEx₂-qEx₁= - ((-qEx₂) — (-qEx₁))= - (W₂-W₁)= -?W (1)

Здесь W₁=-qEx_1, W₂=-qEx₂. Работа поля, в соответствии с формулой (1), оказывается равна изменению со знаком минус величины

W = - qEx (2)

Эта величина и есть потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле. Через x обозначена абсцисса точки, в которой ищется потенциальная энергия. Нулевой уровень потенциальной энергии в данном случае соответствует началу координат x = 0 и на рисунках изображён пунктирной линией, перпендикулярной линиям напряжённости.

Напомним, что пока считается q > 0. Из формулы (2) следует, что при движении заряда вдоль силовой линии потенциальная энергия убывает с ростом x. Это естественно: ведь поле совершает положительную работу, разгоняя заряд, а кинетическая энергия заряда растёт за счёт убыли его потенциальной энергии. Несложно показать, что формула (2) остаётся справедливой и для q < 0. В этом случае потенциальная энергия возрастает с ростом x. Это тоже понятно: ведь сила, с которой поле действует на заряд, теперь будет направлена влево, так что движение заряда вправо будет осуществляться против действия поля. Заряд тормозится полем, кинетическая энергия заряда уменьшается, а потенциальная энергия — увеличивается.

Итак, важный вывод: в формуле для потенциальной энергии через q обозначается алгебраическая величина заряда (с учётом знака), а не его модуль.

Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов

Пусть два точечных заряда q₁ и q₂ находятся в вакууме на расстоянии r друг от друга. Можно показать, что потенциальная энергия их взаимодействия даётся формулой:

W = kq₁q₂/r (3)

Мы принимаем формулу (3) без доказательства. Две особенности данной формулы следует обсудить.

Во-первых, где находится нулевой уровень потенциальной энергии? Ведь потенциальная энергия, как видно из формулы (3), в нуль обратиться не может. Но на самом деле нулевой уровень существует, и находится он на бесконечности. Иными словами, когда заряды расположены бесконечно далеко друг от друга, потенциальная энергия их взаимодействия полагается равной нулю (что логично — в этом случае заряды уже «не взаимодействуют»). Во-вторых, q₁ и q₂ — это снова алгебраические величины зарядов, т. е. заряды с учётом их знака.

Например, потенциальная энергия взаимодействия двух одноимённых зарядов будет положительной. Почему? Если мы отпустим их, они начнут разгоняться и удаляться друг от друга.

Их кинетическая энергия возрастает, стало быть потенциальная энергия — убывает. Но на бесконечности потенциальная энергия обращается в нуль, а раз она убывает к нулю, значит — она является положительной.

А вот потенциальная энергия взаимодействия разноимённых зарядов оказывается отрицательной. Действительно, давайте удалим их на очень большое расстояние друг от друга — так что потенциальная энергия равна нулю — и отпустим. Заряды начнут разгоняться, сближаясь, и потенциальная энергия снова убывает. Но если она была нулём, то куда ей убывать? Только в сторону отрицательных значений.

Формула (3) помогает также вычислить потенциальную энергию системы зарядов, если число зарядов больше двух. Для этого нужно просуммировать энергии каждой пары зарядов. Мы не будем выписывать общую формулу; лучше проиллюстрируем сказанное простым примером, изображённым на рис. 8

Рис. 8. Взаимодействие трёх зарядов Если заряды q₁, q₂, q₃ находятся в вершинах треугольника со сторонами a, b, c, то потенциальная энергия их взаимодействия равна:

W = kq₁q₂/a + kq₂q₃/b + kq₁q₃/c

Потенциал

Из формулы W = - qEx мы видим, что потенциальная энергия заряда q в однородном поле прямо пропорциональна этому заряду. То же самое мы видим из формулы W = kq₁q₂/r потенциальная энергия заряда q₁, находящегося в поле точечного заряда q₂, прямо пропорциональна величине заряда q₁. Оказывается, это общий факт: потенциальная энергия W заряда q в любом электростатическом поле прямо пропорциональна величине q:

W=qц (4)

Величина ц уже не зависит от заряда, является характеристикой поля и называется потенциалом:

ц = W/q (5)

Так, потенциал однородного поля E в точке с абсциссой x равен:

ц = - Ex (6)

Напомним, что ось X совпадает с линией напряжённости поля. Мы видим, что с ростом x потенциал убывает. Иными словами, вектор напряжённости поля указывает направление убывания потенциала. Для потенциала поля точечного заряда q на расстоянии r от него имеем:

ц = kq/r (7)

Единицей измерения потенциала служит хорошо известный вам вольт. Из формулы (5) мы видим, что В = Дж / Кл.

Итак, теперь у нас есть две характеристики поля: силовая (напряжённость) и энергетическая (потенциал). У каждой из них имеются свои преимущества и недостатки. Какую именно характеристику удобнее использовать — зависит от конкретной задачи.

Разность потенциалов

Пусть заряд q перемещается в электростатическом поле из точки 1 в точку 2. Траектория заряда, напомним, роли не играет — работа поля A от этой траектории не зависит и равна разности потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках:

A = - ?W = - (W₂ — W₁) = W₁ — W₂

С учётом формулы (4) имеем:

A = qц₁ — qц₂ = q (ц₁ — ц₂) (8)

Здесь ц₁ — потенциал поля в точке 1, ц₂ — потенциал поля в точке 2. Величина ц₁ — ц₂, от которой зависит работа поля, так и называется: разность потенциалов. Обратите внимание, что разность потенциалов есть потенциал начальной точки минус потенциал конечной точки, а не наоборот!

Разность потенциалов называется также напряжением между точками 1 и 2 и обозначается через U:

U = ц₁ — ц₂ (9)

Наряду с формулой (8) получаем тогда:

A = qU (10)

Записывая формулы (8) и (10) в виде:

U = ц₁ — ц₂ = A/q (11)

получаем полезное истолкование напряжения: напряжение (или разность потенциалов) между данными точками — это работа поля по перемещению заряда из начальной точки в конечную, делённая на величину этого заряда.

Как и потенциальная энергия, потенциал определён с точностью до прибавления произвольной постоянной C: в зависимости от выбора точки, в которой потенциал полагается равным нулю, эта постоянная примет то или иное значение. Но физическим смыслом обладает не потенциал сам по себе, а напряжение (разность потенциалов). При вычитании потенциалов константа C сократится, и напряжение будет уже однозначно определённой величиной, не зависящей от выбора начала отсчёта потенциала.

Выбор точки нулевого потенциала позволяет истолковать в терминах работы сам потенциал. Действительно, пусть 1 — данная точка, 2 — точка нулевого потенциала. Тогда в формуле (11) имеем: ц₁ = ц (потенциал в данной точке), ц₂ = 0, A = A₀ — работа поля по перемещению заряда q из данной точки в точку с нулевым потенциалом. В результате:

ц = A₀/q (12)

Таким образом, потенциал поля в данной точке — это работа поля по перемещению заряда из данной точки в точку нулевого потенциала, делённая на величину этого заряда.

В чем смысл введения разности потенциалов?

Зная разность потенциалов для всех точек поля, т. е. имея график эквипотенциальных поверхностей, можно просто определить и напряженность этого поля. Действительно, пусть 1,2,3,4,5 (рис. 9) — эквипотенциальные поверхности. Они в каждой точке перпендикулярны к линиям поля, и поэтому, прочерчивая линии LM, перпендикулярные к эквипотенциальным поверхностям, мы сразу находим линии данного поля, т. е. определим направление поля в каждой точке. Указанное на рис. 7 направление линий LM соответствует случаю, когда при переходе от поверхности 1 к поверхности 2 и т. д. потенциал убывает.

Рис. 9. Построение линий поля по эквипотенциальным поверхностям 1−5

Для того чтобы найти напряженность поля в точке а, лежащей на эквипотенциальной поверхности 1−1, перенесем мысленно положительный заряд из точки, а вдоль линии поля в соседнюю точку b, лежащую на эквипотенциальной поверхности 2−2. Пусть разность потенциалов между поверхностями 1 и 2 равна U₁₂, а длина отрезка ab (т.е. расстояние между этими поверхностями) равна L. Тогда работа, совершаемая электрическими силами при этом перемещении, согласно формуле, равна qU_12. С другой стороны, эта же работа равна произведению силы F на перемещение L, т. е. равна FL, так как направление перемещения и направление силы в этом случае все время совпадают. Но, согласно формуле, F = qE. Поэтому искомая работа есть

qEl = qU₁₂

отсюда

E = U₁₂ /l (13)

Если напряженность поля в разных точках отрезка lразлична, то формула (13) определяет среднюю напряженность поля на отрезке l. Для получения истинной напряженности в данной точке надо выбирать l достаточно малым.

Величина U₁₂ /l представляет собой разность потенциалов между концами линии поля, приходящаяся на единицу длины линии поля, или, как еще принято говорить, напряжение на единицу длины линии поля. Мы видим, что напряженность в каком-либо месте поля равна напряжению на единицу длины линии поля.

С другой стороны, если эквипотенциальные поверхности прочерчены через 1 В, то в формуле (6) U₁₂ = 1 В и E=1 В/l, т. е. напряженность поля обратно пропорциональна расстоянию между соседними эквипотенциальными поверхностями. Другими словами, чем теснее расположены эквипотенциальные поверхности, тем больше напряженность поля в данном месте.

Из формулы (6) следует, что для поля, напряженность которого равна единице, напряжение на единице длины равно единице. В соответствии с этим единица напряженности электрического поля в СИ получила название вольт на метр (В/м).

Мы видим, что, зная разность потенциалов между любыми двумя точками поля (или, как иногда говорят, зная распределение потенциала поля), мы можем определить в каждой точке поля и напряженность электрического поля, т. е. найти силы, действующие на заряды в этом поле.

Согласно формуле,

A=q/U₁₂

где, А — работа, совершаемая над зарядом q при его перемещении из точки 1 в точку 2. Если заряд положителен, то знак A совпадает со знаком U₁₂. Работа A будет положительна, если сила, действующая на заряд, направлена так же, как перемещение, т. е. от точки 1 к точке 2. В случае положительного заряда q такое же направление будет иметь и напряженность поля. С другой стороны, U₁₂ будет положительна, если потенциал в точке 2 меньше, чем в точке 1. Отсюда заключаем, что напряженность электрического поля направлена в сторону убывания потенциала. Поэтому поле будет стремиться переместить положительный заряд в сторону убывания потенциала, а отрицательный заряд — в сторону возрастания потенциала.

Таким образом, при помощи разности потенциалов можно охарактеризовать электрическое поле так же полно, как и при помощи напряженности. График эквипотенциальных линий представляет собой такую же «электрическую карту», как и график линий поля. Зная один из этих графиков, можно, согласно сказанному, без труда построить другой график. Относительно густоты проведения эквипотенциальных поверхностей можно повторить то же самое, что сказано относительно густоты линий поля. Если известно распределение потенциалов в поле, то можно очень просто разрешать важные задачи, относящиеся к электрическому полю. Во многих случаях решение таких задач с помощью распределения потенциалов проще, чем с помощью линий поля.

Принцип суперпозиции для потенциалов

Потенциал результирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из тел в отдельности.

Принцип суперпозиции для потенциалов вытекает из формулы (12) и из того факта, что работа равнодействующей силы есть сумма работ её слагаемых.

Однородное поле: связь напряжения и напряжённости

Предположим, что положительный заряд q перемещается в однородном электростатическом поле по направлению силовой линии из точки 1 в точку 2 (рис. 10). Расстояние между точками равно d.

Рис. 10. К выводу формулы U = Ed

C одной стороны, работа поля равна произведению силы на путь:

A = Fd = qEd

Работа получается положительной, так как сила и перемещение сонаправлены. C другой стороны, работа поля есть произведение заряда на разность потенциалов между точками 1 и 2:

A = qU

(Напряжение также положительно, так как ?₁ > ?₂ — ведь напряжённость направлена в сторону убывания потенциала.) Приравнивая правые части последних двух формул, получим:

qU = qEd, откуда

U = Ed (15)

Эта простая формула позволяет находить напряжение между точками однородного поля E, находящимися на одной силовой линии; при этом напряжённость поля направлена от начальной точки к конечной.

Выразим из формулы (15) напряжённость:

E = U/d (15)

Эта формула пригодится нам впоследствии, при нахождении напряжённости поля в конденсаторе. А сейчас обратим внимание на одно следствие данной формулы: единицей измерения напряжённости является В/м. Эта единица используется чаще, чем первоначальная Н / Кл. Что ж, немало вещей пришлось узнать, чтобы понять равенство Н / Кл. = В/ м.

Эквипотенциальные поверхности

Как вы помните, введение силовой характеристики поля (напряжённости) дало возможность изображать поле графически — в виде картины линий напряжённости, или силовых линий. Энергетическая характеристика поля (потенциал) также позволяет дать графическую картину поля — в виде семейства эквипотенциальных поверхностей. Поверхность в пространстве называется эквипотенциальной, если во всех точках этой поверхности потенциал электрического поля принимает одно и то же значение. Коротко говоря, эквипотенциальные поверхности — это поверхности равного потенциала.

Например, из формулы? = - Ex мы видим, что эквипотенциальными поверхностями однородного поля являются всевозможные плоскости x = const. Они перпендикулярны линиям напряжённости.

Рис. 11. Эквипотенциальные поверхности однородного поля Эквипотенциальными поверхностями здесь будут всевозможные сферы r = const. Они также перпендикулярны линиям напряжённости. На рис. 12 показаны четыре такие сферы — эквипотенциальные поверхности, отвечающие значениям потенциала.

Рис. 12. Эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда Оказывается, эквипотенциальные поверхности всегда перпендикулярны линиям напряжённости. Нетрудно понять, почему это так. Предположим, что заряд перемещается по эквипотенциальной поверхности. Работа поля при этом равна нулю: A = q (?₁ — ?₂) =0, так как ?₁ = ?₂. Значит, угол между перемещением заряда и силой, с которой поле действует на заряд, всё время остаётся прямым. Иными словами, заряд перемещается перпендикулярно вектору напряжённости.

Рис. 13. Карта эквипотенциальных поверхностей точечного заряда: а) заряд положительный; б) заряд отрицательный

Рассмотрим в качестве примера поле точечного положительного заряда. В этом случае линии поля — радиальные прямые, и поэтому эквипотенциальные поверхности — концентрические сферы, которые в каждой точке перпендикулярны к линиям поля. Эквипотенциальные линии — концентрические окружности, изображенные на рис. 13, а. При построении этого чертежа за нулевую линию была выбрана произвольная окружность и затем построены окружности с разностью потенциалов (относительно нулевой окружности) 1, 2, 3 и т. д. вольт. На рис. 13, б показаны построенные таким образом эквипотенциальные линии точечного отрицательного заряда.

Заключение

Оказывается, что сила, с которой электростатическое поле действует на заряженное тело, также является консервативной. Работа этой силы, совершаемая при перемещении заряда, называется работой электростатического поля. Имеем, таким образом, важнейший факт: Работа электростатического поля не зависит от формы траектории, по которой перемещается заряд, и определяется лишь начальным и конечным положениями заряда. Работа поля по замкнутому пути равна нулю.

Этот факт называется также потенциальностью электростатического поля. Как и поле силы тяжести, электростатическое поле является потенциальным. Работа электростатического поля одинакова для всех путей, по которым заряд может двигаться из одной фиксированной точки пространства в другую. Строгое математическое доказательство потенциальности электростатического поля выходит за рамки школьной программы. Однако «на физическом уровне строгости» мы можем убедиться в справедливости этого факта с помощью следующего простого рассуждения.

электрический потенциал заряд напряженность

1) Яковлев Игорь Вячеславович. Электродинамика. (Данное пособие посвящено третьему разделу «Электродинамика» кодификатора ЕГЭ по физике.)

2) Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. Т.2. Электричество и магнетизм. — М.: Наука, 1985. — 479 c.

3) Терлецкий Я. П., Рыбаков Ю. П. Электродинамика. Учебное пособие для студентов физических специальностей университетов. 1990.

4) Л. С. Жданов «Учебник по физике для средних специальных учебных заведений», изд. «Наука», 1977 г.