Явление электромагнитной индукции

Целью данной курсовой работы является разработка электронного учебного пособия на тему «Явление электромагнитной индукции». Данная работа будет включать в себя теоретический материал и электронный учебник.

Открытие электромагнитной индукции углубило наши представления об электромагнитном поле. Благодаря явлению индукции мир узнал, что такое электричество. Именно открытия в этой области позволили человеку создать электродвигатель, лампу накаливания, сети передачи энергии на дальни расстояния.

Современная жизнь уже не возможна без электроприборов питающихся от сети переменного тока. Благодаря электричеству стало возможным создание медицинского оборудования, которое каждый день спасает жизни на всей планете. Кроме того, были разработаны мощные вычислительные центры способные разрешать задачи современной физики, медицины, биологии. В отсутствии электричества работа всех этих приборов просто не возможна.

Электромагнитная индукция позволяет раскрыть и понять природу появления электричества, его свойств и возможного применения, как например, усовершенствование технологических процессов на производстве, основанных на явлении самоиндукции.

Следует всегда помнить, что электрические и магнитные явления неразрывно связаны между собой и могут порождать друг друга.

1. Электромагнитная индукция

Электрические токи создают вокруг себя магнитное поле. Существует и обратное явление: магнитное поле вызывает появление электрических токов. Это явление было открыто М. Фарадеем в 1831 г. и получило название электромагнитной индукции.

Рассмотрим некоторые опыты, иллюстрирующие электромагнитную индукцию. Для этого воспользуемся двумя проволочными катушками 1 и 2 (рис. 1.1), одну из которых (1) можно одевать на другую (2). Соединим катушку 1 с гальванометром, а катушку 2 с источником тока. Если катушка 1 неподвижна относительно катушки 2 (т.е. относительно магнитного поля), то в цепи 1 не будет тока, как бы сильно ни было магнитное поле катушки 2.

Рисунок 1.1 — При движении катушки 1 в магнитном поле катушки 2 в цепи катушки 1 появляется ток.

Начнем теперь перемещать катушку 1. Мы увидим, что гальванометр покажет появление тока. Этот ток существует только при движении катушки, и он тем сильнее, чем быстрее движется катушка. Ток в цепи катушки 1 возникает и при сближении катушек, и при удалении их, однако токи в обоих случаях имеют противоположные направления.

Если оставить катушку 1 неподвижной, а двигать катушку с током 2, то гальванометр также показывает ток при движении катушки.

Мы могли бы оставить обе катушки 1 и 2 неподвижными, но изменять силу тока в катушке 2 при помощи реостата. Тогда при всяком изменении силы тока (т.е. магнитного поля) в цепи катушки 1 возникал бы ток. Направление тока в катушке 1 при усилении магнитного поля противоположно направлению тока при ослаблении поля; ток в катушке 1 не возникает, если магнитное поле остается постоянным.

Эти опыты показывают, что причиной появления индукционного тока является изменение магнитного поля. Каким образом создается это изменение, безразлично. В опыте, изображенном на рис. 1. обе катушки 1 и 2 неподвижны, но в катушку 2 мы вдвигаем или выдвигаем из нее железный сердечник С. При вдвигании сердечника он намагничивается, и магнитное поле усиливается; при выдвигании сердечника поле уменьшается. Ток в цепи катушки 1 течет только при движении сердечника.

Рисунок 1.2 — При движении железного сердечника С магнитное поле катушки 2 изменяется и в цепи катушки 1 появляется ток Изменяющееся магнитное поле мы можем создать и движением постоянного магнита. Если вовсе удалить катушку с током 2 и вдвигать (или выдвигать) в катушку 1 постоянный магнит, то гальванометр также показывавает ток. Этот ток возникает и в том случае, если движется катушка, а магнит находится в покое. Наблюдая направления тока при сближении магнита и катушки и при удалении, можно убедиться, что они противоположны, так же как и в предыдущих опытах.

Результаты своих многочисленных опытов Фарадей выразил в следующей наглядной форме. Будем изображать магнитное поле при помощи линий магнитной индукции. Тогда магнитная индукция будет характеризоваться густотой линий индукции. Представим себе теперь, что замкнутый проводник движется в магнитном поле и переходит в область более сильного поля. Тогда число линий индукции, охватываемых проводником, увеличится. Напротив, при движении проводника в область более слабого поля число линий индукции, охватываемых проводником уменьшится. Но магнитное поле есть поле вихревое, и его линии индукции не имеют концов. Вследствие этого линии индукции поля сцеплены с проволочным контуром наподобие звеньев цепи (рис. 3). Поэтому всякое изменение числа линий индукции, охватываемых контуром, может произойти только в результате пересечения ими проволочного контура.

Рисунок 1.3 — Замкнутый проводник и линии магнитной индукции «сцеплены» между собой.

Точно так же, если проводник находится в покое, но изменяется магнитная индукция, то при усилении поля густота линий индукции будет увеличиваться и они будут стягиваться друг к другу, а при ослаблении поля — расходиться друг от друга. И в этом случае произойдет пересечение некоторого числа линий индукции проводником. Поэтому Фарадей заключил, что индукционный ток возникает в проводнике в том случае, если проводник или какая-либо eго часть пересекает линии магнитной индукции.

Открытие электромагнитной индукции имело огромное научное и техническое значение. Это явление показало, что можно не только получить магнитное поле при помощи токов, но и, обратно, получить электрические токи при помощи магнитного поля. Этим была установлена окончательно взаимная связь между электрическими и магнитными явлениями.

2. Закон Ленца

Э.Х. Ленц установил важный закон, позволяющий определить направление индукционного тока. Он сформулировал найденный им закон следующим образом: «Если металлический проводник передвигается вблизи гальванического тока или вблизи магнита, то в нем возбуждается гальванический ток такого направления, которое вызвало бы движение покоящегося провода в направлении прямо противоположном направлению движения, навязанного здесь проводу извне, в предположении, что находящийся в покое провод может двигаться только в направлении этого последнего движения или в прямо противоположном». В более сжатой форме закон Ленца можно выразить так: индукционный ток во всех случаях направлен таким образом, что его действие противоположно действию причины, вызвавшей этот ток. Закон Ленца применим и к случаям, когда проводники неподвижны, а изменяется магнитное ноле (сила тока). В таком случае индукционные токи всегда вызывают поле, которое стремится противодействовать изменениям внешнего поля, вызвавшим эти токи. Так, например, если в опыте (см. рис. 1) катушки неподвижны, то при включении тока в катушку 2 (его нарастании) направление тока в катушке 1 будет противоположно (индукционный ток стремится ослабить нарастающее поле катушки 2), а при выключении тока (его убывании) ток в катушке 1 будет направлен так же. как и в катушке 2 (стремится поддержать ослабевающее магнитное поле). Закон Ленца вытекает из закона сохранения энергии. Действительно, индукционные токи, как и всякие электрические токи, производят определенную работу, Но это значит, что при движении замкнутого проводника в магнитном ноле должна быть произведена дополнительная работа внешних сил. Эта работа возникает потому, что индукционные токи, взаимодействуя с магнитным полем, вызывают силы, направленные противоположно движению, т. е. препятствующие движению.

3. Электродвижущая сила индукции

В предыдущем пункте было выяснено, что изменения магнитного потока Ф через контур вызывают возникновение в контуре электродвижущей силы индукции е_i.Чтобы найти связь между е_i и скоростью изменения Ф, рассмотрим следующий пример.

Возьмем контур с подвижной перемычкой длины l (рис. 3.1а). Поместим его в однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости контура и направленное за чертеж. Приведем перемычку в движение со скоростью v. С той же скоростью станут перемещаться относительно поля и носители тока в перемычке — электроны. В результате на каждый электрон начнет действовать направленная вдоль перемычки магнитная сила.

F_||=-e[vB] (3.1)

(заряд электрона равене). Действие этой силы эквивалентно действию на электрон электрического поля напряженности

E=[vB].

Это поле неэлектростатического происхождения. Его циркуляция по контуру дает величину э. д. с., индуцируемой в контуре:

е_i = (3.2)

(подынтегральная функция отлична от нуля лишь на образуемом перемычкой участке 1−2).

Чтобы по знаку е_i, можно было судить о направлении, в котором действует э. д. с., будем считать е_i положительной в том случае, когда ее направление образует с направлением нормали к контуру правовинтовую систему.

Выберем нормаль так, как показано на рис. 3.1. Тогда при вычислении циркуляции нужно обходить контур по часовой стрелке и соответственно выбирать направление векторов dl. Если вынести (рис. 3.1) постоянный вектор [vB] за знак интеграла, получим е_i = [vB] = [vB]l,

где l - вектор, показанный на рис. 3.1б. Осуществим в полученном выражении циклическую перестановку сомножителей, после чего умножим и разделим его на dt:

е_i = B[lv] =. (3.3)

Рисунок 3.1 — Контур с подвижной перемычкой

Из рис. 3.1б видно, что

[l, vdt]= -BndS,

где dS — приращение площади контура за время dt. По определению потока выражение BdS=BndS представляет собой поток через площадку dS, т. е. приращение потока dФ через контур. Таким образом, В[1, vdt]= -Bn dS = -dФ.

С учетом этого выражению (3.3) можно придать вид е_{i = -} (3.4)

Мы получили, что dф/dt и е_i имеют противоположные знаки. Знак потока и знак е_i связаны с выбором направления нормали к плоскости контура. При сделанном нами выборе нормали (см. рис 3.1) знак dф/dt положительный, а знак е_i отрицательный. Если бы мы выбрали нормаль, направленную не за чертеж, а на нас, знак dф/dt был бы отрицательным, а знак е_i положительным.

Единицей потока магнитной индукции в СИ служит вебер (Вб), который представляет собой поток через поверхность в 1 м², пересекаемую нормальными к ней линиями магнитного поля с В, равной 1 Тл. При скорости изменения потока, равной 1 Вб/с, в контуре индуцируется э.д.с., равная 1 В. электромагнитный индукция напряжение поле Рисунок 3.2 — Действие сил на движущийся электрон В рассуждениях, которые привели нас к формуле (4), роль сторонних сил, поддерживающих ток в контуре, играют магнитные силы. Работа этих сил над единичным положительным зарядом, равная по определению э. д. с., оказывается отличной от нуля. Это обстоятельство находится в кажущемся противоречии, утверждении о том, что магнитная сила работы над зарядом совершать не может. Противоречие устраняется, если учесть, что сила (1) представляет собой не полную магнитную силу, действующую на электрон, а лишь параллельную проводу составляющую этой силы, обусловленную скоростью v (см. силу F_||, на рис. 3.2). Под действием этой составляющей электрон приходит в движение вдоль провода со скоростью и, в результате чего возникает перпендикулярная к проводу составляющая магнитной силы

F₊= -е[uB]

(эта составляющая не вносит вклада в циркуляцию, так как перпендикулярна к dl).

Полная магнитная сила, действующая на электрон,

F = F₊+ F_||,

а работа этой силы над электроном за время dt

dA= F_||udt+ F₊vdt = F_||udtF₊vdt

(направления векторов F_|| и u одинаковы, а векторов F₊ и v противоположны; см. рис. 3.2). Подставив значения модулей сил: F_||=-evB и F₊ =euB, получим, что работа полной магнитной силы равна нулю.

Сила F₊ направлена противоположно скорости перемычки v. Поэтому для того, чтобы перемычка перемещалась с постоянной скоростью v, к ней нужно приложить внешнюю силу F_внеш, уравновешивающую сумму сил F₊, приложенных ко всем электронам, содержащимся в перемычке. За счет работы этой силы и будет возникать энергия, выделяемая в контуре индуцированным током.

Рассмотренное нами объяснение возникновения э. д. с. индукции относится к случаю, когда магнитное поле постоянно, а изменяется геометрия контура. Однако магнитный поток через контур может изменяться также за счет изменения В. В этом случае объяснение возникновения э. д. с. оказывается в принципе другим. Изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое электрическое поле Е. Под действием ноля Е носители тока в проводнике приходят в движение — возникает индуцированный ток. Связь между э. д. с. индукции и изменениями магнитного потока и в этом случае описывается формулой (3.4).

Пусть контур, в котором индуцируется э. д. с., состоит не из одного витка, а из N витков, например, представляет собой соленоид.

Поскольку витки соединяются последовательно, будет равна сумме э.д.с., индуцируемых в каждом из витков в отдельности:

е_i = - = ;

Величину

Ш = ?Ф

называют потокосцеплением или полным магнитным потоком. Ее измеряют в тех же единицах, что и Ф. Если поток, пронизывающий каждый из витков, одинаков,

Ш = NФ.

Э. д. с., индуцируемая в сложном контуре, определяется формулой е_i = -.

4. Методы измерения магнитной индукции и магнитного напряжения

На явлении электромагнитной индукции основан простой и удобный метод измерения напряженности магнитных полей. Соединим с баллистическим гальванометром концы небольшого витка проволоки. Расположим плоскость витка перпендикулярно к магнитному полю. Пусть его пронизывает магнитный поток Ф. Если быстро убрать виток из поля или повернуть его вокруг диаметра на 90°, то магнитный поток обратится в нуль. Того же можно достигнуть, выключив ток, возбуждающий магнитное поле. При изменении магнитного потока через виток течет кратковременный ток

I = ;

где R — сумма сопротивлений витка, баллистического гальванометра и подводящих проводов. За все время изменения магнитного потока от Ф до 0 через гальванометр пройдет количество электричества

q = - (4.1)

Полученное соотношение выражает закон электромагнитной индукции в форме, найденной Фарадеем, который из своих опытов заключил, что заряд, прошедший по цепи, пропорционален полному числу линий магнитной индукции, пересеченных проводником, и обратно пропорционален сопротивлению цепи.

На соотношении (4.1) основано определение единицы магнитного потока в системе СИ: вебер — магнитный поток, при убывании которого до нуля в сцепленном с ним контуре сопротивлением 1 Ом проходит количество электричества 1 Кл.

Отсюда также следует определение единицы СИ для магнитной индукции: тесла — магнитная индукция, при которой магнитный поток сквозь поперечное сечение площадью 1 м² равен 1 Вб.

Отклонение баллистического гальванометра пропорционально заряду q, а потому он позволяет измерить этот заряд. После этого по формуле (8) можно вычислить магнитный поток Ф, а затем и индукцию В. Для увеличения чувствительности вместо одного витка лучше взять маленькую плоскую катушку, состоящую из многих витков. Если п — общее число витков, a S — площадь одного витка, то Ф = nSB. Такая катушечка, служащая для измерения магнитного потока Ф, а с ним и индукции В, называется флюксметром. Прибор можно проградуировать, чтобы он прямо указывал значение потока Ф или индукцию В.

При измерениях катушку флюксметра ориентируют перпендикулярно к направлению магнитной индукции. Затем магнитный поток через катушку быстро уменьшают до нуля. Это можно осуществить, быстро выдергивая катушку из области магнитного поля или выключая токи, создающие магнитное поле, или, наконец, поворачивая катушку на 90°. При этом по цепи пройдет заряд Поэтому, измеряя заряд q баллистическим гальванометром и зная постоянную прибора можно определить магнитную индукцию В. Значение постоянной, а обычно не вычисляют, а определяют опытным путем при помощи полей с известной индукцией (длинные соленоиды).

Пользуясь электромагнитной индукцией, можно просто измерить и магнитное напряжение. Рассмотрим длинную катушку в магнитном поле (рис. 4.1а). Ее можно представить как совокупность замкнутых витков и прямолинейных отрезков, соединяющих витки (рис. 4.2б). Если магнитное поле быстро уменьшается до нуля, то по цепи катушки протечет некоторый заряд, обусловленный кратковременным импульсом напряжения в круговых витках и в прямолинейных отрезках. Действие прямолинейных отрезков можно исключить, если сделать катушку двухслойной (рис. 4.3в), так как в этом случае прямолинейные отрезки внутренней и наружной обмоток вызывают противоположные токи во внешней цепи, и поэтому остается только действие витков катушки.

Рисунок 4.1 — Схема пояса Роговского Вычислим заряд, протекающий в цепи за время исчезновения поля. Если n — число витков катушки на единице длины (в обоих слоях), то на элементе длины ds катушки будет пds витков, которые дадут заряд Здесь B_s и H_S — проекции магнитной индукции и соответственно напряженности магнитного поля на направление ds, м₀ - магнитная постоянная, а остальные обозначения имеют прежние значения. Поэтому полный заряд, прошедший по цепи, будет

Здесь интегрирование производится по контуру L совпадающему с осью катушки. Заряд оказывается пропорциональным магнитному напряжению Um, и поэтому, изгибая катушку должным образом, можно измерить магнитное напряжение по любому контуру.

Рисунок 4.2 — Изменение магнитного напряжения в поле прямого тока. Пояс Роговского охватывает ток один раз.

Для подобных измерений служит пояс Роговского, представляющий собой узкую двухслойную катушку, намотанную на гибкий ремень (рис. 4.2). Концы обмотки, сходящиеся в середине внешнего слоя, присоединяют к баллистическому гальванометру.

Пользуясь поясом Роговского, можно проверить основную теорему о магнитном напряжении. Если изогнуть пояс Роговского таким образом, чтобы образовался замкнутый контур, охватывающий ток (рис. 4.2), и затем выключить ток, создающий магнитное поле, то отброс баллистического гальванометра укажет магнитное напряжение по замкнутому контуру При этом легко убедиться, что отброс гальванометра не изменяется при любом изгибании пояса Роговского пока образованный им контур охватывает ток один раз. Если замкнутый контур охватывает ток два раза, то и отброс гальванометра возрастает вдвое. Если пояс образует замкнутый контур, не охватывающий ток, то гальванометр не дает никакого отброса.

Пользуясь поясом Роговского, можно измерить магнитное напряжение по любому контуру, замкнутому или разомкнутому, и в любом магнитном поле, независимо от того, создано ли это поле контурами с током или магнитами.

5. Вихревые токи (токи Фуко)

Индукционные токи могут возбуждаться и в сплошных массивных проводниках. В этом случае их называют токами Фуко или вихревыми токами. Электрическое сопротивление массивного проводника мало, поэтому токи Фуко могут достигать очень большой силы.

В соответствии с правилом Ленца токи Фуко выбирают внутри проводника такие пути и направления, чтобы своим действием возможно сильнее противиться причине, которая их вызывает. Поэтому движущиеся в сильном магнитном поле хорошие проводники испытывают сильное торможение, обусловленное взаимодействием токов Фуко с магнитным полем. Этим пользуются для демпфирования (успокоения) подвижных частей гальванометров, сейсмографов и других приборов. На подвижной части прибора укрепляется проводящая (например, алюминиевая) пластинка в виде сектора (рис. 5.1), которая вводится в зазор между полюсами сильного постоянного магнита. При движении пластинки в ней возникают токи Фуко, вызывающие торможение системы. Преимущество такого устройства состоит в том, что торможение возникает лишь при движении пластинки и исчезает, когда пластинка неподвижна.

Рисунок 5.1 — Часть прибора, препятствующая токам Фуко Поэтому электромагнитный успокоитель совершенно не препятствует точному приходу системы в положение равновесия.

Тепловое действие токов Фуко используется в индукционных печах. Такая печь представляет собой катушку, питаемую высокочастотным током большой силы. Если поместить внутрь катушки проводящее тело, в нем возникнут интенсивные вихревые токи, которые могут разогреть тело до плавления. Таким способом осуществляют плавление металлов в вакууме, что позволяет получать материалы исключительно высокой чистоты.

С помощью токов Фуко осуществляется также прогрев внутренних металлических частей вакуумных установок для их обезгаживания.

Во многих случаях токи Фуко бывают нежелательными, и приходится принимать для борьбы с ними специальные меры. Так, например, чтобы предотвратить потери энергии на нагревание токами Фуко сердечников трансформаторов, эти сердечники набирают из тонких пластин, разделенных изолирующими прослойками. Пластины располагаются так, чтобы возможные направления токов Фуко были к ним перпендикулярными. Появление ферритов (полупроводниковых магнитных материалов с большим электрическим сопротивлением) сделало возможным изготовление сердечников сплошными.

Токи Фуко, возникающие в проводах, по которым текут переменные токи, направлены так, что ослабляют ток внутри провода и усиливают вблизи поверхности. В результате быстропеременный ток оказывается распределенным по сечению провода неравномерно — он как бы вытесняется на поверхность проводника. Это явление называется скин-эффектом (от английского skin — кожа) или поверхностным эффектом. Из-за скин-эффекта внутренняя часть проводников в высокочастотных цепях оказывается бесполезной. Поэтому в высокочастотных цепях применяют проводники в виде трубок.

6. Вращение рамки в магнитном поле

Явление электромагнитной индукции применяется для преобразования механической энергии в энергию электрического тока. Для этой цели используются генераторы, принцип действия которых можно рассмотреть на примере плоской рамки, вращающейся в однородном магнитном поле (рис. 6.1).

Предположим, что рамка вращается в однородном магнитном поле (В = const) равномерно с угловой скоростью щ = const. Магнитный поток, сцепленный с рамкой площадью S, в любой момент времени t равен где б = щt — угол поворота рамки в момент времени t (начало отсчета выбрано так, чтобы при t = 0 б = 0).

Рисунок 6.1 — Рамка в магнитном поле При вращении рамки в ней будет возникать переменная э.д.с. индукции

е_i = - (6.1)

изменяющаяся со временем по гармоническому закону. При sin щt = 1 е_i максимальна, т. е.

е_max = BSщ (6.2)

определяет максимальные значения, достигаемые колеблющейся э.д.с. Учитывая (6.2), выражение (6.1) можно записать в виде е_i = е_max sin щt

Таким образом, если в однородном магнитном поле равномерно вращается рамка, то в ней возникает переменная э. д. c., изменяющаяся по гармоническому закону. Из формулы (6.2) вытекает, что е_max (следовательно, и э. д. с. индукции) находится в прямой зависимости от величин щ, В и S. В России принята стандартная частота тока v = щ/2р = 50 Гц, поэтому возможно лишь увеличение двух остальных величин. Для увеличения В применяют мощные постоянные магниты или в электромагнитах пропускают значительный ток, а также внутрь электромагнита помещают сердечники из материалов с большой магнитной проницаемостью м. Если вращать не один, а ряд витков, соединенных последовательно, то тем самым увеличивается S. Переменное напряжение снимается с вращающегося витка с помощью щеток, схематически изображенных на рис. 6.1.

Процесс превращения механической энергии в электрическую обратим. Если через рамку, помещенную в магнитное поле, пропускать электрический ток, на нее будет действовать вращающий момент и рамка начнет вращаться. На этом принципе основана работа электродвигателей, предназначенных для превращения электрической энергии в механическую.

7. Самоиндукция

Электрический ток, текущий в любом контуре, создает пронизывающий этот контур магнитный поток Ш. При изменениях I изменяется также и Ш, вследствие чего в контуре индуцируется э. д. с. Это явление называется самоиндукцией.

В соответствии с законом Био — Савара магнитная индукция В пропорциональна силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что ток I в контуре и создаваемый им полный магнитный поток Ш через контур пропорциональны друг другу:

Ш = LI (7.1)

Коэффициент пропорциональности L между силой тока и полным магнитным потоком называется индуктивностью контура.

Линейная зависимость Ш от I наблюдается только в том случае, если магнитная проницаемость м среды, которой окружен контур, не зависит от напряженности поля Н, т. е. в отсутствие ферромагнетиков. В противном случае м является сложной функцией от I и, поскольку В=м₀мH, зависимость Ш от I также будет довольно сложной. Однако соотношение (7.1) распространяют и на этот случай, считая индуктивность L функцией от I. При неизменной силе тока I полный поток Ш может изменяться за счет изменений формы и размеров контура.

Из сказанного следует, что индуктивность L зависит от геометрии контура (т.е. его формы и размеров), а также от магнитных свойств (от м) окружающей контур среды. Если контур жесткий и поблизости от него нет ферромагнетиков, индуктивность L является постоянной величиной.

За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого проводника, у которого при силе тока в нем в 1 А возникает сцепленный с ним полный поток Ш, равный 1 Вб. Эту единицу называют генри (Гн).

В гауссовой системе индуктивность имеет размерность длины. В соответствии с этим единицу индуктивности в этой системе называют сантиметром. Индуктивностью в 1 см обладает такой контур, с которым при силе тока в 1 СГСМ — единицу (т.е. 10 А) сцеплен поток, равный 1 Мкс (10^-8Вб).

Вычислим индуктивность соленоида. Возьмем соленоид такой длины, чтобы его можно было практически считать бесконечным. При протекании по нему тока I внутри соленоида возбуждается однородное поле, индукция которого равна B = м₀мnI. Поток через каждый из витков равен Ф = BS, а полный магнитный поток, сцепленный с соленоидом, Ш = NФ = nlBS = м₀мn²lSI, (7.2)

где l — длина соленоида (которая предполагается очень большой), S — площадь поперечного сечения, n — число витков на единицу длины (произведение nl дает полное число витков N).

Сопоставление формул (7.1) и (7.2) дает для индуктивности очень длинного соленоида выражение

L = м₀мn²lS = м₀мn²V, (7.3)

где V=lS - объем соленоида.

Из (7.3) следует, что размерность равна размерности индуктивности, деленной на размерность длины. В соответствии с этим м₀ измеряется в генри на метр.

При изменениях силы тока в контуре возникает э. д. с. самоиндукции е_s равная е_s = -.

Если при изменениях силы тока индуктивность остается постоянной (что возможно лишь при отсутствии ферромагнетиков), выражение для э.д.с. самоиндукции имеет вид е_s =. (7.4)

Знак минус в этой формуле обусловлен правилом Ленца, согласно которому индукционный ток бывает направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей. В рассматриваемом случае причиной, вызывающей е_s, является изменение силы тока в цепи. Примем в качестве положительного направление обхода по часовой стрелке. При этом условии сила тока будет положительной, если ток течет в цепи по часовой стрелке, и отрицательной, если ток течет против часовой стрелки. Аналогично е_s будет положительной, если она действует в направлении по часовой стрелке, и отрицательной, если она действует в направлении против часовой стрелки.

Производная dI/dt положительна в двух случаях: либо при возрастании положительного тока, либо при убывании по модулю отрицательного тока. Из (7.4) следует, что в этих случаях е_s<0. Это означает, что э.д.с. самоиндукции направлена против часовой стрелки и, следовательно, противится указанным изменениям тока (нарастанию положительного либо убыванию отрицательного тока).

Производная dI/dt отрицательна также в двух случаях: либо при убывании положительного тока, либо при увеличении по модулю отрицательного тока. В этих случаях е_s>0 и, следовательно, противится изменениям тока (убыванию положительного либо возрастанию по модулю отрицательного тока).

Соотношение (7.4) дает возможность определить индуктивность как коэффициент пропорциональности между скоростью изменения силы тока в контуре и возникающей вследствие этого э.д.с. самоиндукции. Однако такое определение правомерно лишь в случае, когда L=const. В присутствии ферромагнетиков L недеформируемого контура будет функцией от I (через Н); следовательно, dL/dt можно записать как (dL/dl) (dl/dt). Произведя такую подстановку в формуле (7.3), получим е_s =. (7.5)

Отсюда видно, что при наличии ферромагнетиков коэффициент пропорциональности между dI/dt и е_s отнюдь не равен L.

Примеры проявления самоиндукции. Характерные проявления самоиндукции наблюдаются при замыкании и размыкании тока в цепи. Установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходят не мгновенно, а постепенно. Причем эти эффекты замедления тем значительнее, чем больше индуктивность цепи. Любой большой электромагнит обладает большой индуктивностью. Если его обмотку отсоединить от источника, ток быстро уменьшается до нуля и в процессе уменьшения создает огромную э. д. с. самоиндукции. Это часто приводит к образованию вольтовой дуги между контактами выключателя и является весьма опасным, причем не только для обмотки электромагнита, но и для человека, размыкающего цепь. По этим причинам параллельно обмотке электромагнита обычно включают лампочку с сопротивлением того же порядка, что и сопротивление обмотки. В этом случае ток в обмотке спадает медленно и опасности не представляет.

8. Ток при замыкании и размыкании цепи

По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы противодействовать изменениям тока в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.

Найдем сначала характер изменения тока при размыкании цепи. Пусть в цепь с не зависящей от I индуктивностью L и сопротивлением R включен источник тока э. д. с. е (рис. 10). В цепи будет течь постоянный ток

(8.1)

(сопротивление источника тока считаем пренебрежимо малым). В момент времени t=0 отключим источник тока, замкнув одновременно цепь накоротко переключателем П. Как только сила тока в цепи начнет убывать, возникнет э.д.с. самоиндукции, противодействующая этому убыванию.

Рисунок 8.1 — Электрическая цепь, которую размыкают Сила тока в цепи будет удовлетворять уравнению

или

(8.2)

Уравнение (8.2) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Разделив переменные, получим

(имея в виду дальнейшие преобразования, мы постоянную интегрирования написали в виде ln const). Потенцирование этого соотношения дает

. (8.3)

Выражение (8.3) является общим решением уравнения (8.2). Значение const найдем из начальных условий. При t=0 сила тока имела значение (8.1). Следовательно, const=I₀. Подставив это значение в (8.3), придем к выражению

. (8.4)

Итак, после отключения источника э. д. с. сила тока в цепи не обращается мгновенно в нуль, а убывает по экспоненциальному закону (8.4). График убывания I дан на рис. 8.2 (кривая 1). Скорость убывания определяется имею щей размерность времени величиной которую называют постоянной времен и цепи. Заменив в (8.4) R/L через 1/ф, получим

. (8.6)

Рисунок 8.2 — Зависимость убывания тока при замыкании — размыкании цепи.

В соответствии с этой формулой ф есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз. Из (8.5) видно, что чем больше индуктивность цепи L и меньше ее сопротивление R, тем больше постоянная времени ф и тем медленнее спадает ток в цепи.

Для упрощения расчетов мы считали, что цепь в момент отключения источника тока замыкается накоротко. Если просто разорвать цепь с большой индуктивностью, возникающее высокое индуцированное напряжение создает искру или дугу в месте разрыва.

Теперь рассмотрим случай замыкания цепи. После подключения источника э. д. с., до тех пор, пока сила тока не достигнет установившегося значения (8.1), в цепи кроме э. д. с. е будет действовать э. д. с. самоиндукции. Следовательно, в соответствии с законом Ома.

Мы пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению, которое отличается от уравнения (8.2) лишь тем, что в правой части вместо нуля в нем стоит постоянная величина е/L. Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид (8.3). Легко убедиться в том, что I=е/R=I₀ является частным решением уравнения (8.8).

Следовательно, общим решением уравнения (8.8) будет функция

.

Эта функция описывает нарастание тока в цепи после подключения к ней источника э. д. с. График функции (8.9) дан на рис. 8.2 (кривая 2).

9. Взаимная индукция

Возьмем два контура 1 и 2, расположенные близко друг к другу (рис. 9а). Если в контуре 1 течет ток силы I₁, он создает через контур 2 пропорциональный I₁ полный магнитный поток Ш₂ = L₂₁I₁ (9.1)

(поле, создающее этот поток, изображено на рисунке сплошными линиями). При изменениях тока I₁, в контуре 2 индуцируется э. д. с.

Аналогично, при протекании в контуре 2 тока силы I₂ возникает сцепленный с контуром 1 поток Ш₁ = L₁₂I₂

(поле, создающее этот поток, изображено пунктирными линиями).

При изменениях тока I₂ в контуре 1 индуцируется э. д. с.

Контуры 1 и 2 называются связанными, а явление возникновения э. д. с. в одном из контуров при изменениях силы тока в другом называется взаимной индукцией.

Коэффициенты пропорциональности L_l2 и L₂₁ называются взаимной индуктивностью контуров. Соответствующий расчет дает, что в отсутствие ферромагнетиков эти коэффициенты всегда равны друг другу:

Их величина зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Измеряется L₁₂ в тех же единицах, что и индуктивность L.

Найдем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный железный сердечник (рис. 9б). Линии магнитной индукции сосредоточиваются внутри сердечника, поэтому можно считать, что возбуждаемое любой из обмоток магнитное поле будет иметь всюду в сердечнике одинаковую напряженность. Если первая обмотка имеет N₁ витков и по ней течет ток силы I₁, то согласно теореме о циркуляции

Hl= N₁I₁ (9.3)

(l - длина сердечника).

Магнитный поток через поперечное сечение сердечника Ф=BS=м₀мHS, где S — площадь поперечного сечения сердечника. Подставив сюда значение Н из и умножив получившееся выражение на N₂ получим полный поток, сцепленный со второй обмоткой:

по форме совпадающему с L₂₁ (см. (9.4)). Однако в данном случае нельзя утверждать, что L₁₂=L₂₁. Множитель м, входящий в выражения для этих коэффициентов, зависит от напряженности поля Н в сердечнике. Если N₁?N₂, один и тот же ток, пропускаемый один раз по первой, а другой раз по второй обмотке, создаст в сердечнике поле различной напряженности Н. Соответственно значения м в обоих случаях будут различными, так что при I₁=I₂ числовые значения L₁₂ и L₂₁ не совпадают.

10. Энергия магнитного поля

Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 10.1. При замкнутом ключе в соленоиде установится ток I, который обусловит магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Если разомкнуть ключ, то через сопротивление R будет некоторое время течь постепенно убывающий ток, поддерживаемый возникающей в соленоиде э. д. с. самоиндукции. Работа, совершаемая этим током за время dt, равна Рисунок 10.1 — Электрическая цепь со включенным в нее соленоидом

Если индуктивность соленоида не зависит от I (L=const), то dШ=Ldl и выражение (10.1) принимает вид

dA=—LI dl. (10.2)

Проинтегрировав это выражение по I в пределах от первоначального значения I до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля.

Работа (10.3) идет на приращение внутренней энергии сопротивления R, соленоида и соединительных проводов (т.е. на их нагревание). Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем соленоид пространстве. Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит, остается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается работа (10.3). Таким образом, мы приходим к выводу, что проводник с индуктивностью L, по которому течет ток силы I, обладает энергией которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле (ср. эту формулу с выражением CU²/2 для энергии заряженного конденсатора).

Выражение (10.3) можно трактовать как работу, которую необходимо совершить против э. д. с. самоиндукции в процессе нарастания тока от 0 до I и которая идет на создание магнитного поля, обладающего энергией (10.4). Действительно, работа, совершаемая против э. д. с. Самоиндукции.

Выразим энергию магнитного поля (10.4) через величины, характеризующие само поле. В случае очень длинного (практически бесконечного) соленоида

H = nl или I = H/n

Подставив эти значения L и I в выражение (10.4) и произведя преобразования, получим Магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия (10.6) локализована внутри соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью w, которую можно найти, разделив W на V.

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в любом объеме V. Для этого нужно вычислить интеграл. Можно показать, что в случае связанных контуров (при отсутствии ферромагнетиков) энергия поля определяется формулой.

Заключение

При разработке пособия были достигнуты не только главные цели связанные с его созданием, но и цели побочные, такие как: внесение новых полезных функций, улучшение интерфейса, дополнительный материл для подготовки. В течение периода создания была разработана и составлена теоретическая база, на основе которой было разработано электронное учебное пособие. Теория подкрепляется материалом, дополненным задачами по каждому пункту, которые будут способствовать лучшему закреплению материала. В пособии приведены примеры использования и применения данного явления: характерные проявления самоиндукции наблюдаются при замыкании и размыкании тока в цепи. Установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходят не мгновенно, а постепенно. Это приводит к образованию вольтовой дуги и является весьма опасным для обмотки электромагнита и для человека, размыкающего цепь. По этим причинам параллельно обмотке электромагнита обычно включают лампочку с сопротивлением того же порядка, что и сопротивление обмотки, и ток в обмотке спадает медленно и опасности не представляет. Данное пособие позволит успешно изучить тему, сократить время поиска нужной информацию, в связи со встроенным поиском по ключевым словам, использовать его как дополнительный материал при изучении других вопросов, связанных с данной темой. Сравнив пособие созданное мной с другими пособиями, было замечено, что другие продукты в основном это документы в формате pdf, для открытия которых необходимо соответствующее приложение, и оно не поддерживает поиск по ключевым словам, в отличие от разработанного мной, запускающегося как ехе-файл, созданного на основе бесплатной программной оболочки «Конструктор электронных учебников 1.1.3». В интерфейсе присутствуют крупные информативные кнопки с надписями выход, экспорт в Word и т. д. Интерфейс не содержит массивных элементов, каждый пункт его снабжен надписью-пояснением, что создаст удобство при использовании.

Список использованной литературы

1. Савельев, И. В. Курс общей физики. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика / И. В. Савельев. 2-е изд.-М.: Наука, 1982.-496с.

2. Калашников, С. Г. Электричество / С. Г. Калашников. 6-е изд.-М.: Физматлит, 2003.-624с.

3. Сивухин, Д. В. Общий курс физики. Электричество / Д. В. Сивухин. 4-е изд.-М: Физматлит, 2004.-656с.

4. Иродов, И. Е. Основные законы электромагнетизма / И. Е. Иродов. 2-е изд — М.: Высш. шк., 1991.-286с.

5. Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. 2-е изд., испр. и доп — М.: Высш. шк., 2001.-542с.

Приложение

Описание учебного пособия

Для закрепления знаний пройденного материала мной был разработан электронный учебник, позволяющий как упрочить полученную базу знаний об явлении электромагнитной индукции, так послужить удобный средством для поиска, обновления в памяти полученной информации, и дополнительного учебного пособия при подготовке к экзамену, зачету или лабораторной работе. Учебник был разработан в прикладном приложении «Конструктор электронных учебников». Основными командами являлись:

1) Создание нового раздела, и далее создание в нем элементов;

2) Каждый элемент может быть представлен как документ Microsoft Word, куда заносится весь материал в текстовом формате по данному элементу;

3) В случае необходимости, можно осуществить перемещение разделов и элементов или провести их повторное редактирование через текстовый редактор.

4) Необходимо заполнить форму, где указывается название учебника, бегущая строка, автор учебника;

5) Далее следует сохранение учебника и создание исполнительного файла кнопкой «Создать учебник [ехе]».

Учебник прост в использовании: есть возможность возвращаться назад в оглавление, производить печать нужного материала и пособие поддерживает возможность поиска по ключевым словам. Кроме того, есть функция сохранения текущей страницы на диск. Учебник поддерживает масштабирование страниц.