Лабораторная работа № 11. Изучение колебаний пружинного маятника

Цель работы: изучить собственные колебания пружинного маятника в воздухе, определить жесткость пружины двумя способами.

Теоретические сведения Гармонические колебания.

Гармонические колебания представляют собой периодический процесс, в котором изменение величины происходит по закону косинуса (или синуса). Например, проекция радиуса-вектора точки, движущейся по окружности, на ось x, лежащую в плоскости движения точки (рис.1), изменяется со временем по косинусоидальному закону. Если окружность имеет радиус.

A=||,.

а угловая скорость вращения точки постоянна, то проекция Период изменения x, очевидно, будет равен.

T=2/,.

где T — время одного оборота точки, через которое весь процесс в точности повторяется; - циклическая (круговая) частота; o — начальный угол поворота относительно оси x. Следовательно, отличается множителем 2 от частоты :

=2.

Так как максимальное значение косинуса равно единице, то максимальное значение x равно A. Это максимальное значение называется амплитудой колебаний.

Аргумент косинуса (t+o) носит название фазы колебаний, а o — начальной фазы колебаний.

Пусть теперь гармонические колебания вдоль оси x совершает материальная точка массой m. Выясним какая при этих условиях на нее должна действовать сила.

Проекция скорости точки на ось x.

vx = dx/dt = - Asin (t + o),.

проекция ускорения.

ax = dvx/dt = - A2cos (t + o) = - 2x.

По второму закону Ньютона.

.

где k — постоянный коэффициент.

Таким образом, для того чтобы материальная точка совершала гармонические колебания, действующая на нее сила должна быть пропорциональна x и направлена в сторону, противоположную смещению x. Такая сила называется упругой (или в общем случае — квазиупругой).

Рассмотрим систему, состоящую из груза массой m, подвешенного на пружине, массой которой можно пренебречь (рис.2). Пусть lo — длина пружины без подвешенного к ней груза, тогда под тяжестью груза пружина растянется на.

l = l — lo .

В положении равновесия модуль силы тяжести mg равен модулю упругой силы kl:

(1).

где k — коэффициент упругости пружины. Коэффициент k численно равен силе, которую нужно приложить к пружине при упругой деформации, чтобы растянуть (или сжать) пружину на единицу длины.

Если вывести груз из положения равновесия 0, то на груз будет действовать дополнительная сила упругости, проекция которой на направленную вниз ось x будет равна.

F = - kx (закон Гука).

Под действием этой силы груз, после смещения на x = A и предоставленный самому себе, будет совершать гармонические колебания. Основное уравнение динамики поступательного движения (второй закон Ньютона) для груза принимает вид.

.(2).

Решение этого уравнения имеет вид (рис.3).

x =Acosot.(3).

Функция (3) — это закон движения груза на пружине, где A — амплитуда колебания, т. е. наибольшее отклонение груза от положения равновесия.

Подставляя решение (3) в (2), получаем ;

mo2Acosot = - kAcosot.

Отсюда собственная частота системы.

o = .

Так как.

T = 2/o,.

То.

.(4).

В рассмотренном примере не учитывалась сила сопротивления, поэтому колебания считались незатухающими.

Оборудование: пружинный маятник с набором грузов, секундомер.

Рабочее задание: двумя способами рассчитать значения коэффициентов упругости пружины.

Порядок выполнения работы.

• 1. При пяти различных грузах в положении равновесия определить длину пружины l.
• 2. Построить график зависимости

От.

.

В этом случае получается линейная зависимость.

.

Где.

(см. формулу 1).

Методом наименьших квадратов оценить коэффициент упругости и начальную длину пружины.

.

Массы всех грузов указаны на них. Данные занести в табл.1.

3. Подвесить груз к этой же пружине и вывести маятник из положения равновесия, сместив вниз на 2−3 мм, и отпустить. Секундомером измерить время t полных n = 20 колебаний (начинать отсчет при прохождении грузом верхнего или нижнего положения). Тогда период колебаний.

T = t/n.

• 4. Проделать пункт 3 для четырех грузов различной массы. Данные занести в табл.2.
• 5. Построить график зависимости

От.

.

исходя из формулы (4). В этом случае получается линейная зависимость.

.

Где.

.

Методом наименьших квадратов определить значение коэффициента упругости.

6. Сравнить и, используя рассчитанные погрешности коэффициентов упругости в двух экспериментах. Для этого ввести разность этих чисел.

.

и рассчитать ее погрешность. Если будет выполняться соотношение, то можно считать различие в числах несущественным.

Содержание отчета Результаты измерения и расчетов по пп. 1 — 6 представить в табл. 1 и 2.

Таблица 1.

Таблица 2.

Контрольные вопросы.

• 1. Каковы необходимые условия для возбуждения гармонических колебаний в механической системе?
• 2. Чем определяется период, амплитуда и начальная фаза свободных механических гармонических колебаний?
• 3. Каков физический смысл коэффициента упругости пружины?
• 4. Записать динамические уравнения и законы движения груза на пружине.
• 5. Получить формулу периода колебаний пружинного маятника.

Список использованных источников

.

1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т.1. Механика. Молекулярная физика. — СПб.: Лань, 2007. — 432 с.