Пробный электрический заряд q во внешнем электрическом поле с потенциалом? обладает потенциальной энергией (см. ??).
U (r>) = q ?(r>).
Предположим, что имеются два точечных заряда q1 и q2 на расстоянии r12 = r21 один от другого. Тогда второй заряд в поле первого обладает потенциальной энергией U12 = q1q2? r12. Точно так же первый заряд в поле второго обладает потенциальной энергией U21 = q2q1? r21. Очевидно, что U12 = U21. Очевидно также, что вопрос, какому заряду принадлежит потенциальная энергия здесь не уместен. Если позволить зарядам двигаться под действием силы кулоновского взаимодействия, то потенциальная энергия перейдет в кинетическую энергию зарядов в пропорции, зависящей от их масс и начальных скоростей, но не от соотношения зарядов. Потенциальная энергия является «общей», поэтому её называют энергией взаимодействия системы зарядов.
Энергию взаимодействия двух зарядов можно записать в симметричном виде.
W = 1 2[q1q2 r12 + q2q1 r21 ],.
подчеркивающем равноправие зарядов. После этого обобщение на случай произвольного числа зарядов становится очевидным:
W = 1 2? j? k? jqjqk rjk = 1 2? j? k? jqj?jk. (15.1).
где ?ij = qk? rjk — потенциал заряда qk в точке, где расположен заряд qj. Поскольку энергия взаимодействия каждой пары зарядов суммируется дважды, перед суммой поставлен коэффициент 1?2. В отличие от потенциальной энергии U, которую в определенных ситуациях рассматривают как функцию координат, энергия взаимодействия W есть характеристика всей системы в целом; ей нельзя приписать координаты.
Формулу (15.1) можно представить в эквивалентной форме.
W = 1 2? j=1Nq j? j, (15.2).
где ?j =? k? j?jk — потенциал всех зарядов, кроме заряда qj, в том месте, где тот расположен. Отсюда уже нетрудно перейти к непрерывному распределению зарядов:
W = 1 2? V с (r>)?(r>)dV. (15.3).
Формула (15.3) имеет смысл, совершенно отличный от формул (15.1) и (15.2), так как помимо энергии взаимодействия зарядов включает ещё и собственную энергию каждого заряда. В этом можно убедится, если подставить в (15.3) плотность заряда с (r>) =? jqjд (r> ?r>j).
и потенциал.
?(r>) =? k qk? r> ?r>k?
системы дискретных зарядов. Образовавшаяся двойная сумма.
? j? k qjqk? r> ?r>k?
содержит слагаемые с j = k, которые для точечных зарядов обращаются в бесконечность.
