Решение задачи Коши в круге

Поэтому в этом случае Получили противоречие с выбором числа. Следовательно, каждое решение задачи (6) при принадлежит шару. Но это означает, каждое решение определено на промежутке. Лемма доказана.▄ Таким образом, каждое решение задачи (6) при ведет себя следующим образом. Если, то решение при попадает во внутрь шара, оставаясь там при всех. Если же, то решение при всех находится внутри шара. Следовательно, для заданного семейство решений задачи (6) является равномерно ограниченным при и равностепенно непрерывным. Поэтому без ограничения общности можно считать, что на каждом конечном промежутке последовательность сходится к функции при и. Переходя в равенстве к пределу при, получим, что является решением уравнения, Но это означает, что удовлетворяет дифференциальному уравнению В силу того, что для функции выполнены условия теоремы существования и единственности, получим, что каждое решение задачи (5) приопределено на промежутке и для любого. Теорема доказана.▄Литература.

Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- 4 изд. — М., Наука, 1974. 332 с. Хартман Ф.Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М., Мир, 1970. — 720 с.