Предел функции. 
Математика в экономике

Предел функции в точке

Пусть функция/(х) определена на некотором множестве X. Возьмем из X последовательность точек.

и правомерно рассмотреть вопрос о ее сходимости. В математике существует два определения предела функции в точке.

сходящуюся к точке о, причем а е X или а € X. Соответствующие значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность Определение 2. Число А называется пределом функции / (х) в точке а (или пределом функции при х -" а), если для любой сходящейся к а последовательности (8.8) значений аргумента х, отличных от и, соответствующая последовательность значений функции (8.9) сходится к числу А.

Для обозначения предельного значения функции используется следующая символика: lim /(х) -" А.

я—".

Заметим, что функция/(х) может иметь в точке а только одно предельное значение, поскольку последовательность {/ (х_я)} имеет только один предел. Приведем несколько примеров.

• 1. Функция/(х) = С = const имеет предел в каждой точке числовой прямой. Действительно, любой последовательности (8.8), сходящейся к точке а, соответствует последовательность (8.9), состоящая из одного и того же числа С, откуда следует, что / (х_я) -> С при п -" «>.
• 2. Функция/(х) = х в любой точке а числовой прямой имеет предел, равный а. Действительно, последовательности значений аргумента (8.8) и функции (8.9) в этом случае тождественны, и если последовательность (х_я| сходится к я, то и последовательность {/ (х_я)} сходится к а.

у²_₃v. 2.

• 3. Функция /(*) =-имеет в точке х-0 предел, равный -2. Действи-
• 2х-1

тельно, пусть {х_п) — любая последовательность аргумента, сходящаяся к нулю, т. е. lim х_п = 0 при п -" оо и х_п = 0, тогда в силу теорем 7.8—7.9 имеем:

• 4. Функция Дирихле, определенная в п. 8.1.2, не имеет предела ни в одной точке а числовой прямой. Действительно, для сходящейся к точке а последовательности рациональных значений аргумента предел соответствующей последовательности значений функции равен единице, а для сходящейся к точке а последовательности иррациональных значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к нулю.
• 5. Функция / (х) = sin (1/х) определена для всех х * 0. В точке х = 0 эта функция нс имеет предела. Для доказательства возьмем две последовательности значений аргумента, сходящиеся к нулю: 1/я, 1/(2я), 1/(Зя),…, l/(wr),… и 2/я, 2/(5я), 2/(9я),…" 2/[(4п — 3) я],… Соответствующие последовательности значений функций для них таковы:

Таким образом, определение 2 не удовлетворяется, поскольку для двух разных последовательностей значений аргумента, сходящихся к нулю, соответствующие последовательности значений функции имеют разные пределы.

Определение 3. Число А называется пределам функции f (x) в точке а, если для любого числа е > 0 существует такое число 6 > 0, что для всех хе Х_ух = а, удовлетворяющих неравенству х — а < 8, выполняется неравенство |/(х) — А < ?.

Второе определение предела функции означает, что функция / (х) имеет предел А в точке а, если для любой е-окрестности точки А можно найти такую 6-окрсстность точки а, что как только значение аргумента попадет в эту 8-окрестность, соответствующее значение функции / (х) будет находиться в е-окрестности точки А. При этом по любому е > 0 число 8 > 0 определяется по функции f

Первое определение предела функции называют «на языке последовательностей» (предел функции по Гейне*), а второе — «на языке е — 8» (предел функции по Коши).

Теорема 8.1. Первое и второе определения предела функции эквивалентны. Доказательство. 1. Пусть А — предел функции/(х) в точке а по первому определению. Предположим, что число А нс является пределом этой функции согласно второму определению. Следовательно, существует такое е₀ > 0, что.

•Гейме Генрих Эдуард (1821 —1881) — немецкий математик.

из любой 6-окрестности точки а найдется хотя бы одна точка х = я, такая, что f{x) — А > е. В качестве 5 будем последовательно выбирать числа:

В каждой из этих 6-окрестностсй согласно нашему предположению существует хотя бы по одному числу х_п ш а, такому, что f{x_lt) — А| > е. В результате последовательность точек, нс совпадающих с а, сходится к пределу а, поскольку при всех п х_п — а < /п. Но тогда в силу предположения теоремы соответствующая последовательность значений функции {/(*")} сходится к числу А; иными словами для 8₀ > 0 найдется такой номер УУ, что при всех п > N будет выполнено неравенство |f (x_n) — А < е₀. Но это противоречит нашему предположению, по которому для всехлг_л выполняется противоположное неравенство. Это противоречие доказывает, что число А является пределом функции/(д) в точке а согласно второму определению.

2. Пусть теперь А — предел функции f (х) согласно второму определению, т. е. для любого е > 0 существует 6 > 0, такое, что из неравенства 0 < х — а < 6 следует неравенство f{x) -А | < е. Докажем, что тогда А — предел функции f{x) и согласно первому определению. Для этого возьмем любую последовательность значений аргумента {д;_л}, сходящуюся к точке а {х_п * а). Тогда для данного значения 6 > 0, выбранного по г > 0, найдется такое /У, что при п > N выполняются неравенства 0 < х_п — а < 6. Но в силу второго определения предела функции будет выполнено и неравенство |/(х_п) — А < е. Поскольку число е было выбрано произвольно, то это означает, что последовательность {/(х_я)} сходится к числу А для любой последовательности {д_л}, сходящейся к точке а согласно первому определению предела функции. ?

Теорема 8.1 полностью доказана.