Общая методика решения

Уравнения (2.6) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений, где квадратная матрица A называется матрицей системы, вектор C — вектором-столбцом неизвестных системы, а вектор B — вектором-столбцом свободных членов.

Решение системы линейных уравнений сводится к отысканию значений элементов вектора-столбца С, называемых корнями системы. для получения единственного решения системы, входящие в нее m уравнений должны быть линейно независимыми. необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя данной системы, то есть detA? 0.

Методика решений нормальных уравнений

Методика вычислений методом Обратной матрицы.

Один из методов решения системы линейных алгебраических уравнений (1.7), записываемой в матричной форме, связан с использованием обратной матрицы 3).

В этом случае решение системы уравнений получается в виде.

где — матрица, определяемая следующим образом. Пусть, А — квадратная матрица размером c ненулевым определителем det A? 0. Тогда существует обратная матрица R =, определяемая условием.

где Е — единичная матрица, размерности все элементы главной диагонали которой равны 1, а все элементы вне этой диагонали равны 0.

Матрица R — квадратная матрица размером. Умножим матрицу, А на первый столбец матрицы R. Получим первый столбец матрицы Е, то есть система уравнений будет представлена в виде,.

где неизвестными являются значения. Решением этой системы будет набор значений, то есть первый столбец матрицы R.

Аналогично, умножая матрицу A на второй столбец матрицы R, получим:

Решением этой системы будет набор значений, то есть второй столбец матрицы R. И так далее до m-го столбца матрицы R.

Решением этой системы будет набор значений, то есть mй столбец матрицы R. В результате получим m систем уравнений. Для решения этих систем можно применять любые методы, разработанные для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Вычислив матрицу R (матрицу), находим матрицу коэффициентов С в соответствии с (2.7).

Оценка погрешности аппроксимации

Результатом этапа решения системы нормальных уравнений (2.7) является получение значений параметров аппроксимирующей функции (2.2) для заданного набора базисных аппроксимирующих функций.

…,.

Решение () системы нормальных уравнений определяет значения параметров, при которых критерий качества аппроксимации J принимает минимально возможное значение При всех других допустимых значениях параметров величина критерия будет больше. тем самым полученное значение может быть принято за характеристику эффективности аппроксимации заданной функциональной зависимости функциями выбранного класса. При изменении класса аппроксимирующих функций, а также при изменении набора базисных функций значение может меняться. Сравнение различных классов функций по их эффективности (качеству) аппроксимации может осуществляться на основе сравнений соответствующих значений.

Для количественной оценки погрешности аппроксимации может использоваться также величина (Д) максимального отклонения исходной функциональной зависимости от найденной аппроксимирующей. Для этого определяется отклонение во всех заданных точках и определяется максимальное из этих отклонений:

(2.11).