Свободные колебания. 
Основной закон динамики

Свободными называются колебания точки, происходящие под действием только восстанавливающей силы. Сила называется восстанавливающей, если она все время стремится вернуть точку в положение равновесия. Примером восстанавливающей силы является сила упругости пружины. Если восстанавливающая сила пропорциональна смещению точки из положения равновесия, то она называется линейной восстанавливающей силой. Пусть на точку М массой m действует линейная восстанавливающая сила упругости (рис. 2): Fупр = сД, где с — жесткость пружины (физический смысл жесткости — это сила, необходимая для деформации пружины на единицу длины), в Н/м; Д — деформация пружины, м.

На рис. 2 l0 — длина недеформированной пружины. Выбрав начало координат в положении равновесия — т. О, запишем основное уравнение динамики в проекции на ось x:, или .

Отсюда получим.

Выражение (4) — это и есть уравнение свободных колебаний точки. Здесь называется круговой частотой колебаний (физический смысл: число колебаний за 2р секунд), с-1. Общее решение дифференциального уравнения (4) имеет вид:

.

Взяв производную по времени, имеем.

.

Постоянные интегрирования С1 и С2 найдем из начальных условий:

при .

Подставив (7) в (5) и (6), находим .

С учетом этого решение (5) принимает вид:

.

Решение (8) можно записать в виде:

.

где — амплитуда колебаний, м; - начальная фаза колебаний, рад. Из (9) видно, что свободные колебания являются гармоническими. Период колебаний можно найти по формуле:

.