Сплайн интерполяция. 
Численные методы. 
Основы научных вычислений

В предыдущих параграфах мы использовали полиномы степени N — 1 для того, чтобы представить набор данных из N значений. Однако при больших значениях N применение интерполяционных полиномов нецелесообразно. Поведение полиномов высоких степеней имеет осциллирующий характер, что может привести к неадекватному представлению данных.

Альтернативный подход состоит в использовании кусочнополиномиальной интерполяции. Простейшим методом этого типа является кусочно-линейная интерполяция. Пусть значения г/о>уг заданы в различных точках Хдг. Тогда эти данные могут быть представлены в виде непрерывной кусочно-линейной функции, которая принимает на каждом интервале [х_и, х"₊₁] следующую форму:

Такой подход имеет свой недостаток: интерполяционная функция, в общем, недифференцируема на концах интервалов, гак как она имеет изгиб в этих точках. Однако физические данные обычно представляются в виде гладких функций, поэтому интерполяционная функция должна быть непрерывно-дифференцируемой.

Наиболее популярный метод кусочно-полиномиальной интерполяции использует кубические полиномы на каждом интервале [х", х"₊₁] и носит название интерполяции кубическими сплайнами (или просто сплайн интерполяции). Термин «сплайн» происходит от названия тонкой деревянной или металлической полоски, которая использовалась чертежниками для того, чтобы провести гладкую кривую через заданные точки. Так как малое смещение w тонкой упругой полоски определяется уравнением четвертого порядка d^Aw/dx^A = 0, то кубический полином действительно моделирует сплайн чертежника.

Интерполяционная сплайн функция х (х) есть объединение кубических полиномов s"(x): s (x) = Us"(x), определенных на каждом интервале х_п, х_п+ | и имеющих следующий вид:

Для того чтобы определить коэффициенты полиномов s"(x)> задаются следующие условия:

• 1 )s"(x") = у_т п = 0,…, N — 1 и s_N_ ,(x_iV) = y_N;
• 2) непрерывность функции s (x): = s_n(x"), п = 0,…,

N- 1;

3) непрерывность первых производных функции s"(x):

4) непрерывность вторых производных функции s"(x):

5) некоторые граничные условия, например:

Эти условия приводят к системе линейных уравнений для коэффициентов с_п кубического полинома (8.9):

где Ах_п = x_n+i — x_n. Матрица коэффициентов этой системы является трехдиагональной и обладает свойством диагонального преобладания. Поэтому для решения этой системы можно использовать, например, метод прогонки (параграф 3.6). После того как значения с_п вычислены, другие коэффициенты кубического полинома s_n(x) определяются из следующих соотношений:

Пример 8.4 (интерполяция кубическими сплайнами) В табл. 8.4 представлены значения некоторой величины в 18 точках.

Таблица 8.4

Построим гладкую кривую, проходящую через эти точки. Кубическая сплайн функция описывает эти данные достаточно хорошо, как показано на рис. 8.3. Для сравнения на этом рисунке также приведена кривая, полученная с использованием интерполяционного полинома Лагранжа. В данном случае этот полином представляет собой полином 17-й степени, и он сильно осциллирует на конце интервала интерполяции.

Рис. 8.3. Гладкие кривые, описывающие данные из табл. 8.4:

О — данные;—интерполяционная сплайн функция;

——интерполяционный полином Лагранжа.