Аппроксимация в метамоделировании

Пусть M — некоторая исходная модель (метод), позволяющая для заданных входных данных xXR^p строить функцию отклика — вычислять значение характеристики y=F_M(x)R^q. Пусть D_N = {(x_i, y_i = F_M(x_i)), i = 1, 2, …, N} - результаты N экспериментов с моделью M для множества входных данных X_N = {x_i, i = 1, 2, …, N}, по которым строится аппроксимация y = F_SM(x) = F_SM(xD_N) для исходной зависимости y = F_M(x). Если для всех x X (не только для x X_N) имеет место приближенное равенство F_SM(x)F_M(x), то модель SM, определяемая построенной зависимостью F_SM(x), может рассматриваться как заменитель (Surrogate) для исходной модели M и является суррогатной моделью (метамоделью).

Процедуры нахождения зависимости F_SM(xD_N) обычно основаны на решении задачи минимизации средней ошибки аппроксимации _N(F_SM) = (_iy_i — F_SM(x_i)²)^½ на обучающем множестве D_N, но при этом построенная зависимость должна обладать «обобщающей способностью», то есть обеспечивать требуемую точность и для других точек xX X_N. Обычно функция F_M(x) ищется в параметрическом классе функций, представленных в виде линейных комбинаций _jjh (x, _j) функций из выбранного «словаря», и задача минимизации ошибки _N(F_SM) есть задача минимизации по множеству параметров {(_j, _j)}. Если функции h (x, _j) имеют вид h_j(x), то мы имеем обычную линейную регрессионную модель. Имеется ряд процедур построения нелинейных аппроксимационных зависимостей F_SM(x) для конкретных словарей: Multidimensional non-parametric regression, Kernel ridge regression (kriging), Support Vector Regression, Artificial Neural Networks, Radial Basic Functions, etc. Новые эффективные аппроксимационные процедуры предложены в работе [Bernstein et al., 2008e], а также в ряде докладов на конференции CDAM 2010 [Burnaev et al., 2010b], [Burnaev et al., 2010c], [Burnaev et al., 2010d].