Общее понятие сплайна

Пусть на отрезке [a, b] задано разбиение Д;. Для целого k?0 через обозначим множество k раз непрерывно дифференцируемых на [a, b] функций, а через — множество кусочно-непрерывных функций с точками разрыва первого рода.

Определение: Функция называется сплайном степени n дефекта н (н — целое число, 0? н?n+1) с узлами на сетке Д, если А) на каждом отрезке функция является многочленом степени n, то есть.

для x, i=0, …, N-1 (1).

Б) .

Кубический сплайн дефекта 1.

Общие понятия и определения

В данной работе будут рассмотрены кубические сплайны дефекта 1, являющиеся дважды непрерывно дифференцируемыми функциями. Хорошие аппроксимативные свойства в сочетании с простотой реализации на ЭВМ сделали их эффективным средством решения самых разнообразных прикладных задач. В дальнейшем в работе будем называть такие сплайны кубическими без указания дефекта.

Пусть некоторая функция f (x) задана на промежутке [a, b], разбитом на отрезки [xi? 1, xi], a = x0 < x1 < … < xN = b. Точки разбиения xi назовем узлами сетки разбиения. Кубическим сплайном дефекта 1 для функции f (x) называется функция S (x), которая:

на каждом отрезке [xi? 1, xi] является многочленом степени не выше третьей;

имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке [a, b];

в точках xi выполняется равенство S (xi) = f (xi), т. е. сплайн S (x) интерполирует функцию f в точках xi, i = 0, 1, 2,…, N.

Сплайн S (x) на каждом из отрезков [xi? 1, xi] определяется четырьмя коэффициентами, и поэтому для его построения на всем промежутке [a, b] необходимо определить 4N коэффициентов. Условие 2) эквивалентно требованию непрерывности сплайна и его производных до второго порядка включительно во всех внутренних узлах xi, i = 1, 2,…, N-1, что дает 3(N-1) равенств. Таким образом, вместе с равенствами 3) получается 4N — 2 соотношений. Для однозначного построения сплайна необходимы два дополнительных условия, которые обычно задаются в виде ограничений на значения сплайна и его производных на концах промежутка [a, b] (или вблизи концов) и называются краевыми условиями. Существует несколько различных видов краевых условий, наиболее употребительными из которых являются.

Условия типа III носят название периодических. Естественно требовать их выполнения в том случае, когда интерполируемая функция периодическая с периодом.

T = (b-a).

Зачастую используют условие II, дополнительно требуя нулевой кривизны сплайна на концах отрезка, т. е.

S''(a) = S''(b) = 0.

Такой кубический сплайн называется естественным.

Построение Обозначим: hi = xi? xi? 1.

На каждом отрезке [xi? 1, xi] функция S (x) есть полином третьей степени Si (x), коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства Si (x) в виде:

тогда Условия непрерывности всех производных до второго порядка включительно записываются в виде, а условия интерполяции в виде Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов сплайна:

Если учесть, что c0 = cn = 0, то вычисление c можно провести с помощью метода прогонки для трёхдиагональной матрицы.