Общая характеристика затухающих колебаний

Любой осциллятор является затухающим, потому что процессы перехода одного вида в другой всегда сопровождается потерями энергии. Механизмы потерь разные: трение в механических системах, излучение электромагнитных волн в СВЧ-технике, потери на джоулево тепло и т. д.

В механических системах потенциальная энергия превращается в кинетическую и наоборот. Любой осциллятор движется в среде, и эта среда оказывает сопротивление движению, т. е. возникают силы, действующие на колеблющееся тело, направленные против движения тела.

Механизмов трения (сопротивления) очень много. Простейшими являются: трение скольжения и трение, обусловленное вязкостью.

Для колебательных систем наиболее важным является сопротивление, связанное с вязкостью. Сила этого вязкого трения равна:

.

H, ;

=;

[r] - коэффициент сопротивления, .

Для возникновения колебаний необходимо, чтобы на осциллятор действовала возвращающая сила, т. е. сила, направленная против смещения. Из этих соображений запишем второй закон Ньютона в вязкой среде :

ma = -Fвозвр — Fвяз х — смещение от положения устойчивого равновесия.

Пусть пружина маятника растянута на величину х от положения устойчивого равновесия. Тогда если направлена вправо, на тело действует вяз и возвр. Считаем, что пружина достаточно мягкая, и при её деформации действует закон Гука:

Fдеф = - Fвозвр (по третьему закону Ньютона).

ma = - kx — r (1),.

где k — коэффициент жесткости, ;

aускорение,, ;

— скорость,, .

Делим почленно уравнение 1 на m и приводим к стандарту:

Вводим стандартные обозначения:

2,.

где — коэффициент затухания, , .

.

где — круговая (циклическая) частота,, .

Тогда в стандартном виде уравнение колебаний при наличии сил вязкого (колебательного) трения примет вид:

2 (2).

Покажем, что этому уравнению удовлетворяет решение в виде.

x (t) =) (3).

где — постоянная величина с размерностью х,.

— постоянная величина с размерностью фазы, начальная фаза, рад;

— частота затухающих колебаний.

Находим скорость при затухающих колебаниях:

) +.

) + (4.

Находим ускорение:

= =)+ -) = ((-)) + (2) (5).

Подставим (3),(4) и (5) в (2). При подстановке опустим общий множитель:

(-)) + 2) ;

— 2)=0 (6).

Уравнение (6) есть второй закон Ньютона, но этот закон справедлив для любого момента времени t. Множитель, который опущен в (6), обращается в 0 при t. и) обращаются в 0 не при всех t. Следовательно, в 0 должны обращаться по отдельности коэффициенты, стоящие перед sin и cos.

Коэффициенты перед.

): — - (7).

Коэффициенты перед.

: 2 — 2 = 0 (8).

Следовательно, решение (3) удовлетворяет уравнению (2) при выполнении (7).

Имеем:

— ;

или ;

Поскольку всегда положительная величина, то колебания в виде затухающей гармоники возможны только тогда, когда (10).

Для хороших осцилляторов (слабозатухающих) по сравнению с. Тогда приближенно из (9) можно записать:

(11).

(11) справедлива, если .

Смысл этого равенства:

частота колебаний осциллятора с затуханием при малых затуханиях с точностью до бесконечно малых второго порядка по отношению совпадает с частотой собственных колебаний осциллятора .

(11').

Заметим, что дифференциальное уравнение (2) справедливо только для малых колебаний, поскольку закон Гука справедлив тоже только для малых деформаций. Следовательно, все соотношения, вытекающие из (2) и (3), относятся к малым колебаниям. Эти колебания являются гармоническими, т. е. происходящие по закону sin и cos, или почти гармоническими, как затухающая гармоника. Для характеристики процесса колебаний (3) следует задать характеристики осциллятора и в и начальные условия или их эквивалент, т. е. под каждым рисунком затухающих колебаний должны быть указаны 4 этих параметра.

Используя равенство (9), преобразуем (4) и (5):

sin.

Введем вспомогательный угол.

(12).

sin.

(13).

В момент времени t=0.

(13').

Из (2):

(0) = = (14).

Начальные условия задаются через .Мы покажем, как постоянные выражаются через.

Угол.

sin ;

(15).

Если угол задают через tg, то должно быть доказано, что лежит только в первой и во второй четверти.

(14').

(16).

cosx =.

= (17).

Рассмотрим амплитуды смещений и скоростей:

Затухающие колебания в строгом смысле слова не являются периодическими, но последовательное прохождение материальной точкой положения устойчивого равновесия (х = 0) происходит через одинаковые промежутки времени.

Т = (18).

Периодом колебания называется промежуток времени, через который повторяются все кинематические характеристики движения.

Во всех формулах, связанных с колебательными процессами, фигирирует параметр. Это малый параметр, который задает всю физику процессов.

Недостатки моделей затухающих колебаний при вязком трении.

Как видно из (19), амплитуды затухающих колебаний убывают в геометрической прогрессии, в чем легко убедиться, положив.

t =nT ,.

где n — номер периода.

Таким образом, амплитуда колебаний не обращается в 0 вплоть до.

t. Это противоречит эксперементу. Любой осциллятор прекращает движение через конечный промежуток времени. Однако, если затухание мало, то за время эксперемента амплитуда колебаний не обращается в 0.

Даже если мы считаем, что деформация пружины обратима, т. е. закон Гука выполняется строго, то сила вязкого трения равна: