Распределение x?. Математическая статистика для социологов

Пусть случайные величины …,% — независимы и каждая имеет стандартное нормальное распределение N (0,1). Говорят, что случайная величинах,², определенная как.

имеет распределение у? с п степенями свободы²³. Для этой случайной величины составлены разнообразные таблицы. Чаще всего они содержат значения /7-квантилей.

Заметим, что плотность распределения этой функции можно выразить определенной формулой (как мы выражали, например, плотность функции нормального распределения). Но эта формула очень сложна, поэтому мы не выписываем ее в основной части текста^[1].

Подчеркнем, что существует не одно распределение х², а целое семейство таких распределений, каждый член семейства задан отвечающим ему значением п. Другими словами, для каждого п существует свое распределение х²— И если понадобится таблица, задающая это распределение, мы должны выбрать нужную из целого семейства таблиц, каждая из которых задается своим числом степеней свободы.

Далее мы увидим, что понятие числа степеней свободы имеет смысл и для других распределений. Часто число степеней свободы рассматриваемого распределения обозначают сочетанием букв «df» (degree of freedom).

Известно, что Му}_п = п, Dy}_n = 2я, Мо х² = п — 2 (для п > 2).

Для сравнения напомним, что нормальное распределение тоже задается парой параметров — математическим ожиданием и диспер;

^м Это распределение было открыто астрономом Ф. Хельмертом в 1876 г., а в 1900 г. получило название «х²* в работе Пирсона (см.: Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная статистика. М.: Юнити-Дана, 2001. С. 142).

1 -сией; однако чтобы связать какое-либо значение нормально распределенной случайной величины § ~ /V (p, a) с соответствующей вероятностью, нет необходимости выбирать таблицу из некоторого семейства, поскольку в справочниках обычно фигурирует л ишь одна таблица —для стандартизованной случайной величины |_сгаия~ УУ (0,1); все необходимые сведения для случайной величины с произвольным распределением /V (p, a) из нее могут быть получены.

Приведем графики плотности распределения и Хз (Р^ис. 3.2).

Рис. 3.2. Функции плотности распределения х^г с числом степеней свободы 2 и 3.

Источник: Гласс Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М.: Прогресс. 1976. С. 209.

Приведем примеры х²-распределений с другими числами степеней свободы, указывая при этом вероятности попадания значений рассматриваемых случайных величин в некоторые полуинтервалы (рис. 3.3 и рис. 3.4).

Рис. 3.3. Функция плотности распределения х² с числом степеней свободы I.

Источник: Гласс Дж., Стэнли Дж. С. 208.

Рис. 3.4. Функции плотности распределения х² с числом степеней свободы 6 и 10.

Источник: Гласс Дж., Стэнли Дж. С. 209.

• [1] Эта формула выглядиттак: /(х)-~-х1 е 1 ,.х*0, где используется боль- 2>Г (~) шая греческая буква «гамма» для обозначения так называемой «Г-функции» Эйлера (1707—1783), определяемой следующим образом: r (y) = je~'t'~'dt. о