Об универсальных элементах в топологических пространствах

Различные авторы изучали и изучают в настоящее время функции, которые в том или ином смысле являются универсальными.

В 1929 г. Дж.Д.Биркхоф (С"*3) доказал существование такой целой функции (ц.ф.) Н*), что множеетво|квсюду плотно (в.п.) в, где А" - пространство ц.ф. с топологией равномерной сходимости на каждом компакте ice с. Такие функции мы будем называть Tt — универсальными. 1J — универсальные функции также изучаются в работе [481 (1984) Ш. Блейра и Л.Рубеля. В 1941 г. В. Сайдел и Дж.Л.Уолш (?s51) рассмотрели аналогичное понятие универсальности для функций, аналитических в ограниченных односвяз-ных областях. Аналог теоремы Дж.Д.Биркхофа для гармонических функций в л" - мерном евклидовом цространстве был получен О. П. Дзагнидзе в 1969 г. (1з43).

Результат С. М. Воронина (tail (1975)) о свойстве универсальности дзета-функции Римана, ^О), дал некоторый новый толчок изучению универсальных функций. Свойство универсальности ^(г) состоит в том, что для любой функции $Сг.)<= o<.v<.V4, такой, что, г<.г, существует такая последовательность Тп. У° Т*, е %, что Vrvex* *и + w 1 12Л&г к ->оо. Свойству универсальности Ш и близким к нему вопросам посвящена обширная литература, среди которой отметим frs^siX^IsO. Впоследствии В. И. Гаврилов и А. Н. Канатников (Esfcl (1982)) привели пример функции, множество сдвигов которой в.п. в А0? Л<�г), o.

Пусть (г — область в .

— Я" .

Другое направление в изучении универсальных функций состоит в следующем. Пусть <5 — область в с, к. — компакт, tcс и 1 e-sGjМножеству (Хд (|с, 7)) принадлежат все функции s-UJeMCO ACgO) такие, что для любой рациональной функции (многочлена) «ф» Сг) существуют такие последовательности, ;

OiktWe&ftoelN, что <ХухК *-4п. с G| 3 п. е Ы • SuJ? у С 0²: + Ъъ^^-ЬО, п-«ео и su^ jd { $Cou, 2* W^^CiV) k-^oo, где J. — хордальная метрика на сфере Римана. Функции из X (?,» 0 изучаются в работахI^ol В.Люха. В ЦзОЛ 3*1 А.

А.Н.Канатников рассматривает, в частности, функции из X^vc^l) и.

•^се упомянутые выше понятия универсальности были связаны с некоторым преобразованием переменной универсальной функции.

В 1952 г. Дж. Мак Лейн (CeQ) доказал, что существует такая ц.ф. Gi (z-), что множество (<ч в.п. в А". Эти функции называются Ф — универсальными. В этой работе тоже изучается вопрос о скорости роста $ - универсальных функций. Напомним, что через обозначается класс ц.ф., у которых порадок роста меньше $, или равен 5, но в этом случае тип не больше (меньше) с. BCsQ показано, что в классе[1,1) нет Ф — универсальных функций, но уже в классе.

Cl.il они существуют. Работы и 1л Ш. БлеЙра и Л. Рубеля (1984) являются цродолжением изучения универсальных функций в А", В L^bI авторы также рассматривают следующее понятие универсальности. Пусть, ъ*. ь &, .Ц.ф. является Х — универсальной (?), если множество, а ь j S S. SsCtt^duxW,.^* L л ^-З5*,.} в.п. в А". Авторы показали, что существует такая последовательность.

С,, что В этой же работе доказано, что найдется ц.ф., с. являющаяся одновременно, © и Itуниверсальной. В конце золучен результат отрицательного характера. Для любой ц.ф. множество, ^С^Сго),." ^ не полно в А",.

Действительные универсальные функции изучаются в работе И. Марцинкевича, опубликованной в 1935 г. Пусть даны отрезок tajfel сfit и последовательность, V to, neibl — Ячс* о, н-*со. Функция j-WeCLo^fel — И — универсальна, если для любой функции^СзО, измеримой на tayfcl, существует такая подс., оо fK*) .t"fv i/ последовательность, что ——— >,*-*"". > п.в. на Lcx.^1. В 1ъг] доказано, что М — универсальные функции образуют множество второй категории в CLa, tl и дополнение этого множества-первой категории в Хоанг Туй ([4*1(1960)) продолжил изучение М — универсальных функций.

Из приведенного выше обзора видно, что в настоящее время имеется много различных понятий универсальных функций, и их исследованиям посвящено большое количество публикаций.

Однако, они имеют разрозненный характер и до сих пор не рассматривалось явление универсальности с общих позиций.

Поэтому цредставляет интерес изучение этого воцроса с общей точки зрения, что позволит понять суть явления универсальности, осмыслить и обобщить имеющуюся информацию об универсальных функциях.

Цель работы состоит в построении общей теории универсальных элементов в топологических пространствах для выявления общих свойств не только этих элементов, но также и цространств, в которых они существуют.

Диссертация состоит из введения, двух глав и дополненияв заключительной части цриведена библиография.