Предположим, что цена игры положительна (> 0). Если это не так, то согласно свойству 6 всегда можно подобрать такое число с, прибавление которого ко всем элементам матрицы выигрышей даёт матрицу с положительными элементами, и следовательно, с положительным значением цены игры. При этом оптимальные смешанные стратегии обоих игроков не изменяются.
Свойство 1. Тройка (хо, о,) является решением игры = (Х, А) тогда и только тогда, когда (хо, о, к +а) является решением игры (Х, кА+а), где, а любое вещественное число, к 0.
Свойство 2. Для того, чтобы хо = () была оптимальной смешанной стратегией матричной игры с матрицей, А и ценой игры, необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств (j =).
Аналогично для игрока 2: чтобы о = (, …, …,) была оптимальной смешанной стратегией игрока 2 необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств: (i =).
Из последнего свойства вытекает: чтобы установить, является ли предполагаемые (х,) и решением матричной игры, достаточно проверить, удовлетворяют ли они неравенствам (*) и (**). С другой стороны, найдя неотрицательные решения неравенств (*) и (**) совместно со следующими уравнениями.
Получим решение матричной игры.
Итак, пусть дана матричная игра с матрицей, А порядка m х n. Согласно свойству 7 оптимальные смешанные стратегии х = (х1, …, хm), y = (y1, …, yn) соответственно игроков 1 и 2 и цена игры должны удовлетворять соотношениям.
Разделим все уравнения и неравенства в (4.4) и (4.5) на (это можно сделать, т.к. по предположению > 0) и введём обозначения Поскольку первый игрок стремится найти такие значения хi и, следовательно, pi, чтобы цена игры была максимальной, то решение первой задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений pi.
Поскольку второй игрок стремится найти такие значения yj и, следовательно, qj, чтобы цена игры была наименьшей, то решение второй задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений qj.
Решив эти задачи, получим значения pi, qj.
4.1 Решение задач
Пример 5: Найти решение игры, определяемой матрицей.
Решение.
Составим теперь пару взаимно-двойственных задач :
Решим вторую из них Из оптимальной симплекс-таблицы следует, что.
(q1, q2, q3) = (0;; 1),.
а из соотношений двойственности следует, что.
(p1, p2, p3) = (; 1; 0).
Следовательно, цена игры с платёжной матрицей А1 равна игры с платёжной матрицей А:
При этом оптимальные стратегии игроков имеют вид:
Х = (х1, х2, х3) = (р1; р2; р3) = =.
Y = (y1, y2, y3) = (q1; q2; q3) = = .
